常に成り立つ方程式：三角関数の恒等式
三角関数の恒等式とは、特定の角度だけでなく、すべての有効な入力値に対して真となる三角関数を含む方程式です。これらを使用すると、複雑な三角関数の式を簡略化したり、三角関数の方程式を解いたり、数学的な関係を証明したりできます。恒等式を習得することは、より高度な三角関数、微積分、物理学にとって不可欠です。
三角関数の恒等式の構成要素
このセクションでは、最も重要な恒等式のグループについて説明します。
- ピタゴラスの恒等式: sin²(θ) + cos²(θ) = 1、および、そこから導き出される 1 + tan²(θ) = sec²(θ) と 1 + cot²(θ) = csc²(θ)。
- 逆数の恒等式: csc(θ) = 1/sin(θ)、sec(θ) = 1/cos(θ)、および cot(θ) = 1/tan(θ)。
- 商の恒等式: tan(θ) = sin(θ)/cos(θ) および cot(θ) = cos(θ)/sin(θ)。
- 余角の恒等式: sin(90° - θ) = cos(θ)、cos(90° - θ) = sin(θ)、および tan(90° - θ) = cot(θ)。
三角関数の恒等式の例
ピタゴラスの恒等式の例
- sin(θ) = 3/5 の場合、cos(θ) を求めます。sin²(θ) + cos²(θ) = 1 を使用すると、9/25 + cos²(θ) = 1 となり、cos²(θ) = 16/25、したがって cos(θ) = 4/5（第1象限）となります。
- sin²(θ) + cos²(θ) + tan²(θ) を簡略化します。sin² + cos² を 1 に置き換えると、1 + tan²(θ) = sec²(θ) となります。
- θ = 30° の場合に検証します。sin²(30°) + cos²(30°) = (1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 1 ✓。
逆数の恒等式の例
- sin(θ) = 0.6 の場合、csc(θ) = 1/0.6 ≈ 1.667 となります。
- cos(θ) = √2/2 の場合、sec(θ) = 1/(√2/2) = 2/√2 = √2 となります。
- tan(θ) = 3/4 の場合、cot(θ) = 4/3 となります。
商の恒等式の例
- sin(θ) = 5/13 かつ cos(θ) = 12/13 の場合、tan(θ) = sin(θ)/cos(θ) = (5/13)/(12/13) = 5/12 となります。
- sin(θ)/cos(θ) × cos(θ) を簡略化します。これは sin(θ) に等しくなります。なぜなら、cos(θ) の項が打ち消されるからです。
- θ = 45° の場合に検証します。tan(45°) = sin(45°)/cos(45°) = (√2/2)/(√2/2) = 1 ✓。
余角の恒等式の例
- sin(30°) = cos(60°) = 1/2。ある角度の正弦は、その補角の余弦に等しくなります。
- cos(25°) = sin(65°)。25° + 65° = 90° であるため、これらは余角の関係にあります。
- tan(θ) = 2.5 の場合、cot(90° - θ) = 2.5 ともなります。なぜなら、正接と余接は余角の関係にあるからです。