지수와 근: 지수 및 제곱근
지수는 반복적인 곱셈을 간략하게 표현하는 방법입니다. 예를 들어, 5 × 5 × 5 × 5 대신 5⁴로 쓸 수 있습니다. 반면 제곱근은 “어떤 수를 그 자체로 곱했을 때 이 값이 되는가?”라는 질문을 통해 이 과정을 역으로 수행합니다. 이 둘은 과학적 표기법, 면적 및 부피 계산, 그리고 학생들이 다음에 접하게 될 대수 방정식의 기초를 형성합니다.
지수와 제곱근의 구성 요소
이 섹션에서는 주요 개념을 다룹니다.
- 지수 이해: 밑은 곱해지는 수이고, 지수는 그 수를 몇 번 곱해야 하는지를 나타냅니다.
- 지수 법칙: 곱의 법칙(aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ), 거듭제곱의 법칙((aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ), 그리고 0 지수(a⁰ = 1).
- 제곱근: 어떤 수 n의 제곱근은 그 수 자체로 곱했을 때 n과 같은 값을 가지며, √n으로 표현합니다.
- 완전제곱수 및 추정: 완전제곱수(1, 4, 9, 16, 25, ...)를 인식하고, 완전제곱수가 아닌 제곱근을 추정합니다.
지수와 제곱근의 예시
지수 이해 예시
- 2⁵ 계산: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32.
- 10³ 계산: 10 × 10 × 10 = 1,000 — 10의 각 지수는 0을 하나씩 더합니다.
- 세균 콜로니는 매시간 두 배로 증가합니다. 6시간 후에는 원래 개수의 2⁶ = 64배가 됩니다.
지수 법칙 예시
- 3² × 3⁴ 단순화: 밑이 같으므로 지수를 더합니다: 3²⁺⁴ = 3⁶ = 729.
- (2³)² 단순화: 지수를 곱합니다: 2³ˣ² = 2⁶ = 64.
- 7⁰ 계산: 0이 아닌 어떤 수를 0의 지수로 나타낸 값은 1이므로, 7⁰ = 1.
제곱근 예시
- √49 = 7, 왜냐하면 7 × 7 = 49이기 때문입니다.
- √144 = 12, 왜냐하면 12 × 12 = 144이기 때문입니다.
- 정사각형 모양의 정원의 면적은 81제곱피트입니다. 각 변의 길이는 √81 = 9피트입니다.
완전제곱수 및 추정 예시
- 처음 10개의 완전제곱수는 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100입니다.
- √50 추정: 7² = 49이고 8² = 64이므로, √50은 7보다 약간 큽니다. 대략 7.07입니다.
- √20 추정: 4² = 16이고 5² = 25이므로, √20은 4와 5 사이의 값입니다. 대략 4.47입니다.