Da Entrada à Saída: Funções
Uma função é uma regra que atribui exatamente uma saída a cada entrada — representada como f(x), onde x é a entrada e f(x) é a saída. As funções são a linguagem da matemática para descrever como uma quantidade depende de outra, desde relações simples, como dobrar um número, até modelos complexos na ciência, engenharia e economia.
Componentes das Funções
Esta seção aborda os conceitos fundamentais das funções:
- Notação de Função: Usar f(x) para nomear uma função e avaliá-la substituindo um valor para x.
- Domínio e Imagem: O domínio é o conjunto de todas as entradas válidas; a imagem é o conjunto de todas as saídas possíveis.
- Funções Lineares vs. Não Lineares: As funções lineares produzem gráficos em linha reta (taxa de variação constante); as funções não lineares produzem curvas.
- Operações com Funções: Combinar funções por meio de adição, subtração, multiplicação, divisão e composição (f(g(x))).
Exemplos de Funções
Exemplos de Notação de Função
- Se f(x) = 2x + 3, encontre f(4): Substitua 4 por x para obter 2(4) + 3 = 11.
- Se g(x) = x² - 1, encontre g(-3): Substitua -3 para obter (-3)² - 1 = 9 - 1 = 8.
- Se h(x) = 5x, então h(0) = 0, h(1) = 5 e h(2) = 10 — cada entrada produz exatamente uma saída.
Exemplos de Domínio e Imagem
- Para f(x) = x + 4, o domínio é todos os números reais e a imagem é todos os números reais.
- Para f(x) = √x, o domínio é x ≥ 0 (não há raiz quadrada de números negativos) e a imagem é f(x) ≥ 0.
- Para f(x) = 1/x, o domínio é todos os números reais, exceto x = 0 (a divisão por zero não é definida).
Exemplos de Funções Lineares vs. Não Lineares
- f(x) = 3x - 2 é linear: cada aumento de 1 em x aumenta f(x) em 3. O gráfico é uma linha reta com inclinação 3.
- f(x) = x² é não linear: a taxa de variação aumenta à medida que x cresce. O gráfico é uma parábola que se abre para cima.
- Um carro que viaja a uma velocidade constante de 60 mph segue uma função linear d(t) = 60t, enquanto uma bola que cai sob a gravidade segue uma função não linear.
Exemplos de Operações com Funções
- Se f(x) = x + 1 e g(x) = 2x, então (f + g)(x) = x + 1 + 2x = 3x + 1.
- Se f(x) = x² e g(x) = x + 3, então f(g(x)) = f(x + 3) = (x + 3)² = x² + 6x + 9.
- Se f(x) = 4x e g(x) = x/2, então f(g(x)) = 4(x/2) = 2x e g(f(x)) = 4x/2 = 2x — essas funções são inversas, pois ambas as composições retornam x quando simplificadas ainda mais com o par correto.