Curvas e Soluções: Equações Quadráticas
As equações quadráticas têm a forma ax² + bx + c = 0, onde o maior expoente da variável é 2. As suas soluções — chamadas raízes — representam os pontos onde uma parábola cruza o eixo x. As equações quadráticas modelam o movimento de projéteis, a otimização de áreas, os cálculos de lucro e muitas outras situações em que as relações não são simplesmente lineares.
Componentes das Equações Quadráticas
Esta seção aborda os principais métodos para resolver equações quadráticas:
- Método da Fatoração: Escreva a equação quadrática como o produto de dois binómios e iguale cada fator a zero.
- Fórmula Quadrática: Use x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a para encontrar as soluções de qualquer equação quadrática.
- Completar o Quadrado: Reescreva a equação de forma que o lado esquerdo forme um trinómio quadrado perfeito e, em seguida, extraia a raiz quadrada de ambos os lados.
- O Discriminante: O valor b² - 4ac determina o número e o tipo de soluções — positivo significa duas raízes reais, zero significa uma, negativo significa nenhuma (real).
Exemplos de Equações Quadráticas
Exemplos do Método da Fatoração
- Resolva x² + 7x + 12 = 0: Fatore como (x + 3)(x + 4) = 0, então x = -3 ou x = -4.
- Resolva x² - 5x = 0: Fatore como x(x - 5) = 0, então x = 0 ou x = 5.
- Resolva 2x² - 8x + 6 = 0: Divida por 2 para obter x² - 4x + 3 = 0, fatore como (x - 1)(x - 3) = 0, então x = 1 ou x = 3.
Exemplos da Fórmula Quadrática
- Resolva x² + 2x - 8 = 0: a = 1, b = 2, c = -8. Calcule b² - 4ac = 4 + 32 = 36. Então x = (-2 ± 6) / 2, o que dá x = 2 ou x = -4.
- Resolva 3x² - x - 2 = 0: a = 3, b = -1, c = -2. Calcule b² - 4ac = 1 + 24 = 25. Então x = (1 ± 5) / 6, o que dá x = 1 ou x = -2/3.
- Uma bola é lançada para cima com altura h = -16t² + 48t. Ela atinge o chão quando h = 0: -16t² + 48t = 0, então t(−16t + 48) = 0, o que dá t = 0 ou t = 3 segundos.
Exemplos de Completar o Quadrado
- Resolva x² + 6x = 7: Metade de 6 é 3, e 3² = 9. Adicione 9 a ambos os lados: x² + 6x + 9 = 16, então (x + 3)² = 16, x + 3 = ±4, o que dá x = 1 ou x = -7.
- Resolva x² - 4x = 5: Metade de -4 é -2, e (-2)² = 4. Adicione 4: x² - 4x + 4 = 9, então (x - 2)² = 9, x - 2 = ±3, o que dá x = 5 ou x = -1.
- Resolva x² + 8x + 10 = 0: Mova 10: x² + 8x = -10. Adicione 16: (x + 4)² = 6, então x = -4 ± √6.
Exemplos do Discriminante
- Para x² + 3x + 5 = 0: b² - 4ac = 9 - 20 = -11 (negativo), então não há soluções reais.
- Para x² - 6x + 9 = 0: b² - 4ac = 36 - 36 = 0, então há exatamente uma raiz repetida: x = 3.
- Para x² + x - 6 = 0: b² - 4ac = 1 + 24 = 25 (positivo), então há duas raízes reais distintas.