Múltiplas Incógnitas: Sistemas de Equações
Um sistema de equações é um conjunto de duas ou mais equações com as mesmas variáveis, e resolver o sistema significa encontrar valores que satisfaçam todas as equações simultaneamente. Os sistemas aparecem sempre que duas condições devem ser atendidas ao mesmo tempo — comparar planos de telefonia, encontrar onde dois caminhos se cruzam ou equilibrar reações químicas.
Componentes de Sistemas de Equações
Esta seção aborda os principais métodos para resolver sistemas:
- Método Gráfico: Represente graficamente ambas as equações no mesmo plano cartesiano; o ponto de interseção é a solução.
- Método da Substituição: Resolva uma equação para uma variável e, em seguida, substitua essa expressão na outra equação.
- Método da Eliminação: Adicione ou subtraia as equações (após multiplicar, se necessário) para eliminar uma variável e, em seguida, resolva para a outra.
- Tipos de Soluções: Um sistema tem uma solução (retas que se cruzam), nenhuma solução (retas paralelas) ou infinitas soluções (a mesma reta).
Exemplos de Sistemas de Equações
Exemplos do Método Gráfico
- Resolva y = x + 1 e y = -x + 5: Represente graficamente ambas as retas. Elas se cruzam em (2, 3), então x = 2 e y = 3.
- Resolva y = 2x e y = x + 3: As retas se cruzam onde 2x = x + 3, o que dá x = 3 e y = 6. A interseção é (3, 6).
- Dois amigos começam em posições diferentes e caminham um em direção ao outro. Seus caminhos, modelados como equações lineares, se cruzam no ponto onde eles se encontram.
Exemplos do Método da Substituição
- Resolva y = 3x e 2x + y = 10: Substitua 3x por y: 2x + 3x = 10, então 5x = 10 e x = 2. Em seguida, y = 3(2) = 6.
- Resolva x = y - 4 e 3x + 2y = 17: Substitua (y - 4) por x: 3(y - 4) + 2y = 17, então 3y - 12 + 2y = 17, 5y = 29, y = 29/5. Em seguida, x = 29/5 - 4 = 9/5.
- Resolva y = 2x + 1 e 4x - y = 5: Substitua: 4x - (2x + 1) = 5, então 2x - 1 = 5, 2x = 6, x = 3. Em seguida, y = 2(3) + 1 = 7.
Exemplos do Método da Eliminação
- Resolva 2x + y = 7 e 3x - y = 8: Adicione as equações para eliminar y: 5x = 15, então x = 3. Em seguida, 2(3) + y = 7, y = 1.
- Resolva x + 2y = 10 e 3x + 2y = 18: Subtraia a primeira da segunda: 2x = 8, então x = 4. Em seguida, 4 + 2y = 10, 2y = 6, y = 3.
- Resolva 2x + 3y = 12 e 4x - 3y = 6: Adicione para eliminar y: 6x = 18, x = 3. Em seguida, 2(3) + 3y = 12, 3y = 6, y = 2.
Exemplos de Tipos de Soluções
- y = 2x + 1 e y = 2x - 3 são paralelas (mesmo coeficiente angular, diferentes pontos de interseção), então não há solução.
- y = 3x + 2 e 6x - 2y = -4 são a mesma reta (reorganize a segunda: y = 3x + 2), então há infinitas soluções.
- y = x + 4 e y = -x + 2 têm coeficientes angulares diferentes, então elas se cruzam em exatamente um ponto: (−1, 3).