Colocando as Derivadas em Prática: Aplicações de Derivadas
As derivadas não são apenas cálculos abstratos — elas resolvem problemas reais. Encontrar valores máximos e mínimos, determinar onde uma função aumenta ou diminui, analisar a forma de curvas e modelar o movimento são tarefas que dependem das derivadas. Essas aplicações aparecem na física, economia, biologia e engenharia.
Componentes das Aplicações de Derivadas
Esta seção aborda as principais áreas de aplicação:
- Encontrando Extremos: Use a primeira derivada para localizar pontos críticos (onde f'(x) = 0 ou é indefinida), e classifique-os como máximos locais, mínimos locais ou nenhum dos dois.
- Intervalos Crescentes e Decrescentes: Uma função cresce onde f'(x) > 0 e decresce onde f'(x) < 0.
- Otimização: Defina uma função a partir de um cenário do mundo real, calcule sua derivada, defina f'(x) = 0 e resolva para encontrar o valor ótimo.
- Taxas Relacionadas: Quando duas ou mais quantidades mudam ao longo do tempo, use a diferenciação implícita e a regra da cadeia para encontrar como suas taxas se relacionam.
Exemplos de Aplicações de Derivadas
Exemplos de Encontrando Extremos
- Para f(x) = x² - 4x + 3, f'(x) = 2x - 4 = 0, o que dá x = 2. Como f''(2) = 2 > 0, x = 2 é um mínimo local com f(2) = -1.
- Para f(x) = -x² + 6x, f'(x) = -2x + 6 = 0, o que dá x = 3. Como f''(3) = -2 < 0, x = 3 é um máximo local com f(3) = 9.
- Para f(x) = x³ - 3x, f'(x) = 3x² - 3 = 0, o que dá x = ±1. f(-1) = 2 é um máximo local e f(1) = -2 é um mínimo local.
Exemplos de Intervalos Crescentes e Decrescentes
- Para f(x) = x² - 2x, f'(x) = 2x - 2. Definir f'(x) = 0 dá x = 1. A função decresce em (-∞, 1) e cresce em (1, ∞).
- Para f(x) = x³, f'(x) = 3x². Como 3x² ≥ 0 para todo x (e é igual a 0 apenas em x = 0), a função é crescente em todos os lugares.
- Para f(x) = -x³ + 12x, f'(x) = -3x² + 12 = 0, o que dá x = ±2. A função cresce em (-2, 2) e decresce fora desse intervalo.
Exemplos de Otimização
- Maximize a área de um retângulo com perímetro de 40 cm: Se a largura = x, o comprimento = 20 - x, a área A = x(20 - x) = 20x - x². A'(x) = 20 - 2x = 0, o que dá x = 10. A área máxima é 100 cm² (um quadrado).
- Um fazendeiro tem 200 metros de cerca para um curral retangular contra uma parede do celeiro. Com três lados cercados: A = x(200 - 2x), A'(x) = 200 - 4x = 0, x = 50 m. A área máxima é 5.000 m².
- Encontre a soma mínima de um número positivo e seu inverso: f(x) = x + 1/x, f'(x) = 1 - 1/x² = 0, x = 1. O valor mínimo é 2.
Exemplos de Taxas Relacionadas
- O raio de um balão cresce a 2 cm/s. Quando r = 5, qual a velocidade com que o volume muda? V = 4/3 πr³, dV/dt = 4πr² × dr/dt = 4π(25)(2) = 200π ≈ 628,3 cm³/s.
- Uma escada de 10 pés desliza por uma parede. A base se move para fora a 1 pé/s. Quando a base está a 6 pés da parede, o topo desliza para baixo: usando x² + y² = 100, 2x(dx/dt) + 2y(dy/dt) = 0, y = 8, então dy/dt = -6/8 × 1 = -0,75 pés/s.
- A água enche um cone (raio 3 m, altura 6 m) a 2 m³/min. Quando h = 4, r = 2, dh/dt = 2/(π × 4) = 1/(2π) ≈ 0,159 m/min.