Medindo o Mundo: Aplicações de Integrais
As integrais vão muito além de encontrar áreas sob curvas — elas calculam volumes de sólidos, quantidades totais acumuladas, valores médios e o trabalho realizado por forças. Essas aplicações tornam as integrais ferramentas indispensáveis na física, engenharia, economia e biologia para medir coisas que mudam continuamente.
Componentes das Aplicações de Integrais
Esta seção aborda as principais áreas de aplicação:
- Área Entre Curvas: A área entre duas funções f(x) e g(x) de a a b é ∫ de a a b de |f(x) - g(x)| dx.
- Volumes de Revolução: Girar uma região em torno de um eixo cria um sólido cujo volume pode ser encontrado usando o método do disco: V = π ∫ [f(x)]² dx.
- Valor Médio de uma Função: O valor médio de f(x) em [a, b] é (1/(b-a)) × ∫ de a a b de f(x) dx.
- Acumulação e Mudança Total: Integrar uma função de taxa em um intervalo fornece a quantidade total acumulada durante esse período.
Exemplos de Aplicações de Integrais
Exemplos de Área Entre Curvas
- Encontre a área entre y = x² e y = x de 0 a 1: ∫ de 0 a 1 de (x - x²) dx = [x²/2 - x³/3] de 0 a 1 = 1/2 - 1/3 = 1/6.
- Encontre a área entre y = 4 e y = x² de -2 a 2: ∫ de -2 a 2 de (4 - x²) dx = [4x - x³/3] de -2 a 2 = (8 - 8/3) - (-8 + 8/3) = 32/3 ≈ 10,67.
- A área entre duas curvas de receita do mês 1 ao mês 6 fornece a diferença total de receita entre dois produtos durante esse período.
Exemplos de Volume de Revolução
- Gire y = x de 0 a 3 em torno do eixo x: V = π ∫ de 0 a 3 de x² dx = π[x³/3] de 0 a 3 = π(9) = 9π ≈ 28,27 unidades cúbicas.
- Gire y = √x de 0 a 4 em torno do eixo x: V = π ∫ de 0 a 4 de x dx = π[x²/2] de 0 a 4 = π(8) = 8π ≈ 25,13 unidades cúbicas.
- Uma forma de tigela formada pela rotação de y = x² de 0 a 2 tem volume V = π ∫ de 0 a 2 de x⁴ dx = π[x⁵/5] de 0 a 2 = 32π/5 ≈ 20,11 unidades cúbicas.
Exemplos de Valor Médio
- Encontre a média de f(x) = x² em [0, 3]: Média = (1/3) × ∫ de 0 a 3 de x² dx = (1/3)(9) = 3.
- Encontre a temperatura média se T(t) = 70 + 10sin(t) em [0, π]: Média = (1/π) × ∫ de 0 a π de (70 + 10sin(t)) dt = (1/π)(70π + 20) = 70 + 20/π ≈ 76,37°.
- A taxa de produção de uma fábrica é f(t) = 50 + 4t unidades/hora. Taxa média de t = 0 a t = 8 é (1/8) × ∫(50 + 4t) dt = (1/8)(400 + 128) = 66 unidades/hora.
Exemplos de Acumulação
- O vazamento de óleo ocorre a uma taxa de r(t) = 100 - 5t galões/hora. O total vazado de t = 0 a t = 10 é ∫(100 - 5t) dt = [100t - 5t²/2] de 0 a 10 = 1.000 - 250 = 750 galões.
- A receita entra a uma taxa de R(t) = 200e^(0,05t) dólares/dia. A receita total do dia 0 ao dia 30 é ∫ 200e^(0,05t) dt = 4.000[e^(1,5) - 1] ≈ $12.936.
- Um aspersor fornece água a uma taxa de w(t) = 3 + 0,5t galões/minuto. O total de água em 10 minutos é ∫(3 + 0,5t) dt = [3t + 0,25t²] de 0 a 10 = 30 + 25 = 55 galões.