Conectando Duas Grandes Ideias: Teorema Fundamental do Cálculo
O Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) é a ponte entre a diferenciação e a integração, provando que essas duas operações são inversas uma da outra. A Parte 1 diz que integrar uma função e, em seguida, diferenciá-la, resulta na função original. A Parte 2 diz que uma integral definida pode ser calculada encontrando uma antiderivada. Este teorema transforma os cálculos de área, que antes eram somas trabalhosas, em álgebra direta.
Componentes do Teorema Fundamental
Esta seção aborda ambas as partes do teorema:
- TFC Parte 1: Se F(x) = ∫ de a a x de f(t) dt, então F'(x) = f(x). A diferenciação desfaz a integração.
- TFC Parte 2: ∫ de a a b de f(x) dx = F(b) - F(a), onde F é qualquer antiderivada de f. Isso fornece um método prático para calcular integrais definidas.
- Teorema da Variação Líquida: A integral de uma taxa de variação em um intervalo fornece a variação líquida: ∫ de a a b de f'(x) dx = f(b) - f(a).
- Cálculo com o TFC: O processo passo a passo para encontrar a antiderivada, substituir os limites e calcular a diferença.
Exemplos do Teorema Fundamental
Exemplos da TFC Parte 1
- Se F(x) = ∫ de 0 a x de t² dt, então F'(x) = x² — a derivada da integral retorna a função original.
- Se F(x) = ∫ de 1 a x de (3t + 5) dt, então F'(x) = 3x + 5.
- Se F(x) = ∫ de 2 a x de cos(t) dt, então F'(x) = cos(x).
Exemplos da TFC Parte 2
- Calcule ∫ de 1 a 3 de 2x dx: A antiderivada é x². F(3) - F(1) = 9 - 1 = 8.
- Calcule ∫ de 0 a 2 de (3x² + 1) dx: A antiderivada é x³ + x. F(2) - F(0) = (8 + 2) - (0 + 0) = 10.
- Calcule ∫ de 1 a 4 de √x dx: A antiderivada é 2x^(3/2)/3. F(4) - F(1) = 2(8)/3 - 2(1)/3 = 16/3 - 2/3 = 14/3 ≈ 4,67.
Exemplos de Variação Líquida
- Uma população cresce a uma taxa de P'(t) = 100 + 2t pessoas por ano. O aumento da população do ano 0 ao ano 5 é ∫ de 0 a 5 de (100 + 2t) dt = [100t + t²] de 0 a 5 = 500 + 25 = 525 pessoas.
- A água flui para um tanque a uma taxa de 4t litros por minuto. O total de água de t = 0 a t = 3 é ∫ 4t dt = 2t², calculado como 2(9) - 0 = 18 litros.
- A velocidade de um carro é v(t) = 3t m/s. A distância de t = 2 a t = 6 é ∫ 3t dt = 3t²/2, calculado como 3(36)/2 - 3(4)/2 = 54 - 6 = 48 metros.
Exemplos de Cálculo Passo a Passo
- Calcule ∫ de -1 a 2 de (x² - 1) dx: Passo 1: A antiderivada é x³/3 - x. Passo 2: F(2) = 8/3 - 2 = 2/3. Passo 3: F(-1) = -1/3 + 1 = 2/3. Passo 4: 2/3 - 2/3 = 0.
- Calcule ∫ de 0 a π de sin(x) dx: A antiderivada é -cos(x). Calcule: -cos(π) - (-cos(0)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2.
- Calcule ∫ de 1 a e de 1/x dx: A antiderivada é ln(x). Calcule: ln(e) - ln(1) = 1 - 0 = 1.