Taxas de Variação: Derivadas
Uma derivada mede a rapidez com que a saída de uma função muda em relação à sua entrada — é a taxa de variação instantânea em qualquer ponto. Escrita como f'(x) ou dy/dx, a derivada é a inclinação da reta tangente à curva em um determinado ponto. As derivadas são usadas para analisar o movimento, otimizar sistemas e modelar mudanças na ciência, engenharia e economia.
Componentes das Derivadas
Esta seção aborda as regras e técnicas fundamentais de derivação:
- Regra da Potência: Para f(x) = xⁿ, a derivada é f'(x) = nxⁿ⁻¹.
- Regras da Soma e da Constante: A derivada de uma soma é a soma das derivadas; as constantes são fatoradas, e a derivada de uma constante sozinha é 0.
- Regras do Produto e do Quociente: Regra do produto: (fg)' = f'g + fg'. Regra do quociente: (f/g)' = (f'g - fg') / g².
- Regra da Cadeia: Para funções compostas, d/dx[f(g(x))] = f'(g(x)) × g'(x) — derive a função externa e multiplique pela derivada da função interna.
Exemplos de Derivadas
Exemplos da Regra da Potência
- Encontre a derivada de f(x) = x⁴: f'(x) = 4x³.
- Encontre a derivada de f(x) = 3x⁵: f'(x) = 15x⁴.
- Encontre a derivada de f(x) = x² + 6x - 2: f'(x) = 2x + 6.
Exemplos das Regras da Soma e da Constante
- Derivada de f(x) = 5x³ - 2x + 7: f'(x) = 15x² - 2 (a constante 7 desaparece).
- Derivada de f(x) = 4x² + 3x: f'(x) = 8x + 3.
- Derivada de f(x) = 10: f'(x) = 0 (uma constante tem taxa de variação zero).
Exemplos das Regras do Produto e do Quociente
- Encontre d/dx de x² × sin(x): Usando a regra do produto, 2x × sin(x) + x² × cos(x).
- Encontre d/dx de (3x + 1)(x² - 4): A regra do produto fornece 3(x² - 4) + (3x + 1)(2x) = 3x² - 12 + 6x² + 2x = 9x² + 2x - 12.
- Encontre d/dx de x/(x + 1): A regra do quociente fornece ((1)(x + 1) - x(1)) / (x + 1)² = 1/(x + 1)².
Exemplos da Regra da Cadeia
- Encontre d/dx de (2x + 3)⁵: A derivada externa é 5(2x + 3)⁴, a derivada interna é 2, então o resultado é 10(2x + 3)⁴.
- Encontre d/dx de √(x² + 1): Reescreva como (x² + 1)^(1/2), então 1/2 × (x² + 1)^(-1/2) × 2x = x/√(x² + 1).
- Encontre d/dx de sin(3x): A derivada externa fornece cos(3x), multiplicada pela derivada interna 3, resultando em 3cos(3x).