Aproximando-se de um Valor: Limites e Continuidade
Limites descrevem qual valor uma função se aproxima à medida que a entrada se aproxima cada vez mais de um número específico, mesmo que a função nunca atinja esse valor. Continuidade significa que uma função não tem interrupções, saltos ou buracos em um ponto. Juntos, limites e continuidade formam a base teórica para derivadas e integrais — os dois pilares do cálculo.
Componentes de Limites e Continuidade
Esta seção aborda os principais conceitos:
- Cálculo de Limites: Encontrar o valor ao qual uma função se aproxima quando x → a, usando substituição direta, fatoração ou racionalização.
- Limites Laterais: O limite à esquerda (x → a⁻) e o limite à direita (x → a⁺) podem ser diferentes; o limite bilateral existe apenas quando ambos são iguais.
- Limites no Infinito: Descrever o comportamento da função à medida que x cresce indefinidamente, revelando assíntotas horizontais.
- Continuidade: Uma função é contínua em x = a se f(a) estiver definida, o limite quando x → a existir e o limite for igual a f(a).
Exemplos de Limites e Continuidade
Exemplos de Cálculo de Limites
- Encontre lim(x→3) de (2x + 1): A substituição direta resulta em 2(3) + 1 = 7.
- Encontre lim(x→2) de (x² - 4)/(x - 2): Fatore o numerador como (x-2)(x+2), cancele (x-2), restando lim(x→2) de (x+2) = 4.
- Encontre lim(x→0) de sin(x)/x: Este é um limite bem conhecido que é igual a 1 (usado frequentemente em provas de cálculo).
Exemplos de Limites Laterais
- Para f(x) = |x|/x, o limite à esquerda quando x → 0⁻ é -1 e o limite à direita quando x → 0⁺ é 1. Como são diferentes, o limite bilateral não existe.
- Para uma função de degrau que é igual a 2 quando x < 1 e 5 quando x ≥ 1, o limite à esquerda em x = 1 é 2 e o limite à direita é 5.
- Para f(x) = √x, o limite à esquerda quando x → 0⁻ não existe (a raiz quadrada de números negativos não está definida), mas o limite à direita quando x → 0⁺ é 0.
Exemplos de Limites no Infinito
- Encontre lim(x→∞) de 3/x: À medida que x cresce, 3/x diminui para 0. A assíntota horizontal é y = 0.
- Encontre lim(x→∞) de (2x + 1)/(x - 3): Divida o numerador e o denominador por x para obter (2 + 1/x)/(1 - 3/x), que se aproxima de 2/1 = 2.
- Encontre lim(x→∞) de (5x²)/(x² + 4): Divida por x² para obter 5/(1 + 4/x²), que se aproxima de 5.
Exemplos de Continuidade
- f(x) = x² é contínua em todos os lugares — você pode desenhar a parábola sem levantar o lápis.
- f(x) = 1/x não é contínua em x = 0 porque f(0) não está definida (divisão por zero).
- A função definida como f(x) = x + 1 quando x ≠ 2 e f(2) = 5 tem uma descontinuidade em x = 2 porque o limite (que é 3) não é igual a f(2) = 5.