Somando Tudo: Integrais
A integração é o processo inverso da diferenciação — ela determina a acumulação total de uma quantidade a partir de sua taxa de variação. A integral de uma função representa a área sob sua curva, relacionando-a à distância percorrida, à receita total obtida, ao volume preenchido e a inúmeros outros problemas de acumulação. Dominar as regras básicas de integração é essencial para todos os ramos da matemática avançada.
Componentes das Integrais
Esta seção aborda as técnicas fundamentais de integração:
- Integrais Indefinidas: A antiderivada F(x) + C, onde C é a constante de integração. O resultado é uma família de funções.
- Regra da Potência para Integração: A integral de xⁿ é xⁿ⁺¹/(n+1) + C, válida para todos os n ≠ -1.
- Integrais Definidas: A integral de a a b fornece um número específico que representa a área líquida sob a curva entre x = a e x = b.
- Propriedades Básicas da Integração: A integral de uma soma é a soma das integrais; as constantes podem ser fatoradas.
Exemplos de Integrais
Exemplos de Integrais Indefinidas
- Calcule ∫ x³ dx: Usando a regra da potência, x⁴/4 + C.
- Calcule ∫ 5x² dx: Fatore 5, então 5 × x³/3 + C = 5x³/3 + C.
- Calcule ∫ (4x + 3) dx: Integre termo a termo para obter 2x² + 3x + C.
Exemplos da Regra da Potência
- Calcule ∫ x⁵ dx = x⁶/6 + C.
- Calcule ∫ √x dx = ∫ x^(1/2) dx = x^(3/2)/(3/2) + C = 2x^(3/2)/3 + C.
- Calcule ∫ 1/x² dx = ∫ x⁻² dx = x⁻¹/(-1) + C = -1/x + C.
Exemplos de Integrais Definidas
- Calcule ∫ de 0 a 3 de 2x dx: A antiderivada é x². Calcule: 3² - 0² = 9.
- Calcule ∫ de 1 a 4 de x² dx: A antiderivada é x³/3. Calcule: 64/3 - 1/3 = 63/3 = 21.
- Encontre a área sob y = 3 de x = 0 a x = 5: ∫ 3 dx = 3x, calculado de 0 a 5, resulta em 15 (um retângulo com 5 de largura e 3 de altura).
Exemplos de Propriedades da Integração
- Calcule ∫ (x² + 3x - 1) dx = x³/3 + 3x²/2 - x + C.
- Calcule ∫ 7 × x⁴ dx = 7 × x⁵/5 + C = 7x⁵/5 + C.
- Um carro viaja a v(t) = 3t² m/s. A distância total de t = 0 a t = 4 é ∫ 3t² dt = t³, calculado de 0 a 4, resulta em 64 metros.