指数与根：指数与平方根
指数提供了一种简写方式，用于表示重复乘法——例如，用 5⁴ 代替 5 × 5 × 5 × 5——而平方根则通过提出问题“哪个数乘以自身等于这个值？”来反转这个过程。 它们共同构成了科学记数法、面积和体积计算以及学生接下来将要学习的代数方程的基础。
指数与平方根的组成部分
本节涵盖关键概念：
- 理解指数：底数是要进行乘法的数字，指数表示要将该数字乘以自身多少次。
- 指数规则：乘法规则（aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ）、幂规则（(aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ）和零指数（a⁰ = 1）。
- 平方根：一个数 n 的平方根是指，当该值乘以自身时等于 n 的值，记作 √n。
- 完全平方数与估算：识别完全平方数（1、4、9、16、25……），并估算非完全平方数的平方根。
指数与平方根的示例
理解指数的示例
- 计算 2⁵：将 2 × 2 × 2 × 2 × 2 相乘，结果为 32。
- 计算 10³：将 10 × 10 × 10 相乘，结果为 1000——10 的每个幂都会增加一个零。
- 细菌菌落每小时繁殖一次。 6 小时后，数量是原始数量的 2⁶ = 64 倍。
指数规则的示例
- 简化 3² × 3⁴：底数相同，因此将指数相加：3²⁺⁴ = 3⁶ = 729。
- 简化 (2³)²：将指数相乘：2³ˣ² = 2⁶ = 64。
- 计算 7⁰：任何非零数乘以零次幂等于 1，因此 7⁰ = 1。
平方根的示例
- √49 = 7，因为 7 × 7 = 49。
- √144 = 12，因为 12 × 12 = 144。
- 一个正方形花园的面积为 81 平方英尺。 每条边的长度为 √81 = 9 英尺。
完全平方数与估算的示例
- 前十个完全平方数是 1、4、9、16、25、36、49、64、81 和 100。
- 估算 √50：由于 7² = 49 且 8² = 64，因此 √50 略大于 7——大约为 7.07。
- 估算 √20：由于 4² = 16 且 5² = 25，因此 √20 介于 4 和 5 之间——大约为 4.47。