De entrada a salida: funciones
Una función es una regla que asigna exactamente una salida a cada entrada, y se escribe como f(x), donde x es la entrada y f(x) es la salida. Las funciones son el lenguaje de las matemáticas para describir cómo una cantidad depende de otra, desde relaciones simples como duplicar un número hasta modelos complejos en la ciencia, la ingeniería y la economía.
Componentes de las funciones
Esta sección abarca los conceptos fundamentales de las funciones:
- Notación de funciones: Uso de f(x) para nombrar una función y evaluarla sustituyendo un valor por x.
- Dominio y rango: El dominio es el conjunto de todas las entradas válidas; el rango es el conjunto de todas las salidas posibles.
- Funciones lineales y no lineales: Las funciones lineales producen gráficos en forma de línea recta (tasa de cambio constante); las funciones no lineales producen curvas.
- Operaciones con funciones: Combinación de funciones mediante suma, resta, multiplicación, división y composición (f(g(x))).
Ejemplos de funciones
Ejemplos de notación de funciones
- Si f(x) = 2x + 3, encuentre f(4): sustituya 4 por x para obtener 2(4) + 3 = 11.
- Si g(x) = x² - 1, encuentre g(-3): sustituya -3 para obtener (-3)² - 1 = 9 - 1 = 8.
- Si h(x) = 5x, entonces h(0) = 0, h(1) = 5 y h(2) = 10; cada entrada produce exactamente una salida.
Ejemplos de dominio y rango
- Para f(x) = x + 4, el dominio es todos los números reales y el rango es todos los números reales.
- Para f(x) = √x, el dominio es x ≥ 0 (no se puede obtener la raíz cuadrada de números negativos) y el rango es f(x) ≥ 0.
- Para f(x) = 1/x, el dominio es todos los números reales excepto x = 0 (la división por cero no está definida).
Ejemplos de funciones lineales y no lineales
- f(x) = 3x - 2 es lineal: cada aumento de 1 en x aumenta f(x) en 3. El gráfico es una línea recta con pendiente 3.
- f(x) = x² es no lineal: la tasa de cambio aumenta a medida que crece x. El gráfico es una parábola que se abre hacia arriba.
- Un automóvil que viaja a una velocidad constante de 96 km/h sigue una función lineal d(t) = 60t, mientras que una pelota que cae bajo la gravedad sigue una función no lineal.
Ejemplos de operaciones con funciones
- Si f(x) = x + 1 y g(x) = 2x, entonces (f + g)(x) = x + 1 + 2x = 3x + 1.
- Si f(x) = x² y g(x) = x + 3, entonces f(g(x)) = f(x + 3) = (x + 3)² = x² + 6x + 9.
- Si f(x) = 4x y g(x) = x/2, entonces f(g(x)) = 4(x/2) = 2x, y g(f(x)) = 4x/2 = 2x; estas funciones son inversas, ya que ambas composiciones dan como resultado x cuando se simplifican aún más con el par correcto.