Soluciones para líneas rectas: Ecuaciones lineales
Las ecuaciones lineales son ecuaciones en las que el exponente más alto de la variable es 1, lo que produce una línea recta cuando se grafica. Resolverlas significa encontrar el valor de la variable que hace que ambos lados sean iguales, utilizando operaciones inversas para aislar la variable paso a paso. Las ecuaciones lineales modelan innumerables relaciones del mundo real: distancia en función del tiempo, costo en función de la cantidad y conversiones de temperatura.
Componentes de las ecuaciones lineales
Esta sección cubre las técnicas clave para resolver ecuaciones lineales:
- Ecuaciones de varios pasos: Ecuaciones que requieren múltiples operaciones inversas, trabajando en orden inverso a las operaciones para aislar la variable.
- Variables en ambos lados: Mover los términos de la variable a un lado y las constantes al otro, sumando o restando a ambos lados.
- Ecuaciones con fracciones y decimales: Eliminar las fracciones multiplicando ambos lados por el mínimo común denominador (MCD) o eliminar los decimales multiplicando por una potencia de 10.
- Forma pendiente-ordenada al origen: Escribir las ecuaciones lineales como y = mx + b, donde m es la pendiente y b es la ordenada al origen.
Ejemplos de ecuaciones lineales
Ejemplos de ecuaciones de varios pasos
- Resolver 4x - 7 = 13: Sumar 7 a ambos lados para obtener 4x = 20, luego dividir por 4 para obtener x = 5.
- Resolver 3(x + 2) = 21: Distribuir para obtener 3x + 6 = 21, restar 6 para obtener 3x = 15, dividir por 3 para obtener x = 5.
- Resolver -2x + 9 = 1: Restar 9 para obtener -2x = -8, dividir por -2 para obtener x = 4.
Ejemplos de variables en ambos lados
- Resolver 5x + 3 = 2x + 18: Restar 2x de ambos lados para obtener 3x + 3 = 18, restar 3 para obtener 3x = 15, dividir por 3 para obtener x = 5.
- Resolver 7n - 4 = 3n + 12: Restar 3n para obtener 4n - 4 = 12, sumar 4 para obtener 4n = 16, dividir por 4 para obtener n = 4.
- Resolver 2(y + 5) = y + 16: Distribuir para obtener 2y + 10 = y + 16, restar y para obtener y + 10 = 16, restar 10 para obtener y = 6.
Ejemplos de ecuaciones con fracciones
- Resolver x/3 + 2 = 5: Restar 2 para obtener x/3 = 3, multiplicar por 3 para obtener x = 9.
- Resolver 2x/5 - 1 = 3: Sumar 1 para obtener 2x/5 = 4, multiplicar por 5 para obtener 2x = 20, dividir por 2 para obtener x = 10.
- Resolver 0.3x + 1.5 = 4.5: Multiplicar todo por 10 para eliminar los decimales: 3x + 15 = 45, restar 15 para obtener 3x = 30, por lo tanto, x = 10.
Ejemplos de la forma pendiente-ordenada al origen
- Una línea con pendiente 2 y ordenada al origen -3 tiene la ecuación y = 2x - 3. Cuando x = 4, y = 2(4) - 3 = 5.
- Encontrar la ecuación de una línea que pasa por (0, 5) con pendiente -1: Dado que b = 5 y m = -1, la ecuación es y = -x + 5.
- Un plan de teléfono cuesta $25 por mes más $0.10 por mensaje de texto. La ecuación es y = 0.10x + 25, donde x es el número de mensajes de texto e y es el costo total.