Curvas y Soluciones: Ecuaciones Cuadráticas
Las ecuaciones cuadráticas tienen la forma ax² + bx + c = 0, donde el exponente más alto de la variable es 2. Sus soluciones, llamadas raíces, representan los puntos donde una parábola cruza el eje x. Las ecuaciones cuadráticas modelan el movimiento de proyectiles, la optimización de áreas, los cálculos de beneficios y muchas otras situaciones en las que las relaciones no son simplemente lineales.
Componentes de las Ecuaciones Cuadráticas
Esta sección cubre los métodos principales para resolver ecuaciones cuadráticas:
- Método de Factorización: Escribe la ecuación cuadrática como el producto de dos binomios e iguala cada factor a cero.
- Fórmula Cuadrática: Utiliza x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a para encontrar las soluciones de cualquier ecuación cuadrática.
- Completar el Cuadrado: Reescribe la ecuación de modo que el lado izquierdo forme un trinomio cuadrado perfecto, luego calcula la raíz cuadrada de ambos lados.
- El Discriminante: El valor b² - 4ac determina el número y el tipo de soluciones: positivo significa dos raíces reales, cero significa una, negativo significa ninguna (real).
Ejemplos de Ecuaciones Cuadráticas
Ejemplos del Método de Factorización
- Resuelve x² + 7x + 12 = 0: Factoriza como (x + 3)(x + 4) = 0, por lo tanto, x = -3 o x = -4.
- Resuelve x² - 5x = 0: Factoriza como x(x - 5) = 0, por lo tanto, x = 0 o x = 5.
- Resuelve 2x² - 8x + 6 = 0: Divide por 2 para obtener x² - 4x + 3 = 0, factoriza como (x - 1)(x - 3) = 0, por lo tanto, x = 1 o x = 3.
Ejemplos de la Fórmula Cuadrática
- Resuelve x² + 2x - 8 = 0: a = 1, b = 2, c = -8. Calcula b² - 4ac = 4 + 32 = 36. Luego, x = (-2 ± 6) / 2, lo que da x = 2 o x = -4.
- Resuelve 3x² - x - 2 = 0: a = 3, b = -1, c = -2. Calcula b² - 4ac = 1 + 24 = 25. Luego, x = (1 ± 5) / 6, lo que da x = 1 o x = -2/3.
- Se lanza una pelota hacia arriba con una altura h = -16t² + 48t. Toca el suelo cuando h = 0: -16t² + 48t = 0, por lo tanto, t(-16t + 48) = 0, lo que da t = 0 o t = 3 segundos.
Ejemplos de Completar el Cuadrado
- Resuelve x² + 6x = 7: La mitad de 6 es 3, y 3² = 9. Suma 9 a ambos lados: x² + 6x + 9 = 16, por lo tanto, (x + 3)² = 16, x + 3 = ±4, lo que da x = 1 o x = -7.
- Resuelve x² - 4x = 5: La mitad de -4 es -2, y (-2)² = 4. Suma 4: x² - 4x + 4 = 9, por lo tanto, (x - 2)² = 9, x - 2 = ±3, lo que da x = 5 o x = -1.
- Resuelve x² + 8x + 10 = 0: Mueve 10: x² + 8x = -10. Suma 16: (x + 4)² = 6, por lo tanto, x = -4 ± √6.
Ejemplos del Discriminante
- Para x² + 3x + 5 = 0: b² - 4ac = 9 - 20 = -11 (negativo), por lo tanto, no hay soluciones reales.
- Para x² - 6x + 9 = 0: b² - 4ac = 36 - 36 = 0, por lo tanto, hay exactamente una raíz repetida: x = 3.
- Para x² + x - 6 = 0: b² - 4ac = 1 + 24 = 25 (positivo), por lo tanto, hay dos raíces reales distintas.