Expresiones con Potencias: Polinomios
Los polinomios son expresiones algebraicas formadas por términos con exponentes que son números enteros, desde binomios simples como x + 3 hasta expresiones complejas como 4x³ - 2x² + 7x - 5. Sumar, restar, multiplicar y factorizar polinomios son habilidades esenciales para resolver ecuaciones de grado superior, modelar curvas y sentar las bases para el cálculo.
Componentes de los Polinomios
Esta sección cubre las operaciones y el vocabulario clave:
- Clasificación de Polinomios: Por número de términos (monomio, binomio, trinomio) y por grado (el exponente más alto presente).
- Suma y Resta de Polinomios: Combinar términos semejantes, manteniendo los exponentes y las variables correspondientes.
- Multiplicación de Polinomios: Utilizar la propiedad distributiva (FOIL para binomios) para multiplicar cada término por cada término del otro polinomio.
- Factorización de Polinomios: Invertir la multiplicación para expresar un polinomio como un producto de factores más simples.
Ejemplos de Polinomios
Ejemplos de Clasificación
- 5x² es un monomio (un término) de grado 2.
- 3x + 7 es un binomio (dos términos) de grado 1.
- 2x³ - x² + 4x - 9 es un polinomio con cuatro términos y grado 3.
Ejemplos de Suma y Resta
- Sumar (3x² + 2x - 5) + (x² - 4x + 3): Combinar términos semejantes para obtener 4x² - 2x - 2.
- Restar (5x² + x - 7) - (2x² - 3x + 1): Distribuir el signo negativo y combinar: 3x² + 4x - 8.
- Sumar (4a³ - 2a) + (a³ + 5a - 3): Combinar términos semejantes para obtener 5a³ + 3a - 3.
Ejemplos de Multiplicación
- Multiplicar (x + 3)(x + 5) utilizando FOIL: x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15.
- Multiplicar (2x - 1)(x + 4): 2x² + 8x - x - 4 = 2x² + 7x - 4.
- Multiplicar (x + 2)(x² - 3x + 1): Distribuir cada término: x³ - 3x² + x + 2x² - 6x + 2 = x³ - x² - 5x + 2.
Ejemplos de Factorización
- Factorizar x² + 5x + 6: Encontrar dos números que multiplicados den 6 y sumados den 5; esos son 2 y 3, lo que da (x + 2)(x + 3).
- Factorizar x² - 9: Esta es una diferencia de cuadrados, por lo que se factoriza como (x + 3)(x - 3).
- Factorizar 2x² + 7x + 3: Encontrar factores de 2 × 3 = 6 que sumados den 7; esos son 6 y 1. Reescribir como 2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (2x + 1)(x + 3).