Múltiples incógnitas: Sistemas de ecuaciones
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con las mismas variables, y resolver el sistema significa encontrar valores que satisfagan todas las ecuaciones simultáneamente. Los sistemas aparecen siempre que se deben cumplir dos condiciones a la vez: comparar planes de telefonía, encontrar dónde se cruzan dos caminos o equilibrar reacciones químicas.
Componentes de los sistemas de ecuaciones
Esta sección cubre los métodos principales para resolver sistemas:
- Método gráfico: Graficar ambas ecuaciones en el mismo plano de coordenadas; el punto de intersección es la solución.
- Método de sustitución: Resolver una ecuación para una variable y luego sustituir esa expresión en la otra ecuación.
- Método de eliminación: Sumar o restar ecuaciones (después de multiplicar si es necesario) para eliminar una variable y luego resolver para la otra.
- Tipos de soluciones: Un sistema tiene una solución (líneas que se intersectan), ninguna solución (líneas paralelas) o infinitas soluciones (la misma línea).
Ejemplos de sistemas de ecuaciones
Ejemplos del método gráfico
- Resolver y = x + 1 e y = -x + 5: Graficar ambas líneas. Se intersectan en (2, 3), por lo que x = 2 e y = 3.
- Resolver y = 2x e y = x + 3: Las líneas se cruzan donde 2x = x + 3, lo que da x = 3 e y = 6. La intersección es (3, 6).
- Dos amigos comienzan en posiciones diferentes y caminan uno hacia el otro. Sus trayectorias, modeladas como ecuaciones lineales, se cruzan en el punto donde se encuentran.
Ejemplos del método de sustitución
- Resolver y = 3x y 2x + y = 10: Sustituir 3x por y: 2x + 3x = 10, por lo que 5x = 10 y x = 2. Luego y = 3(2) = 6.
- Resolver x = y - 4 y 3x + 2y = 17: Sustituir (y - 4) por x: 3(y - 4) + 2y = 17, por lo que 3y - 12 + 2y = 17, 5y = 29, y = 29/5. Luego x = 29/5 - 4 = 9/5.
- Resolver y = 2x + 1 y 4x - y = 5: Sustituir: 4x - (2x + 1) = 5, por lo que 2x - 1 = 5, 2x = 6, x = 3. Luego y = 2(3) + 1 = 7.
Ejemplos del método de eliminación
- Resolver 2x + y = 7 y 3x - y = 8: Sumar las ecuaciones para eliminar y: 5x = 15, por lo que x = 3. Luego 2(3) + y = 7, y = 1.
- Resolver x + 2y = 10 y 3x + 2y = 18: Restar la primera de la segunda: 2x = 8, por lo que x = 4. Luego 4 + 2y = 10, 2y = 6, y = 3.
- Resolver 2x + 3y = 12 y 4x - 3y = 6: Sumar para eliminar y: 6x = 18, x = 3. Luego 2(3) + 3y = 12, 3y = 6, y = 2.
Ejemplos de tipos de soluciones
- y = 2x + 1 e y = 2x - 3 son paralelas (misma pendiente, diferentes intersecciones), por lo que no hay solución.
- y = 3x + 2 y 6x - 2y = -4 son la misma línea (reorganizar la segunda: y = 3x + 2), por lo que hay infinitas soluciones.
- y = x + 4 e y = -x + 2 tienen diferentes pendientes, por lo que se intersectan en exactamente un punto: (−1, 3).