Patrones en los Números: Teoría de los Números
La teoría de los números explora las propiedades y relaciones de los números enteros, incluidos los factores, los múltiplos, los números primos y las reglas de divisibilidad. Estos conceptos fundamentales ayudan a los estudiantes a reconocer patrones en las matemáticas, simplificar fracciones, encontrar denominadores comunes y desarrollar el pensamiento lógico necesario para el álgebra y más allá.
Componentes de la Teoría de los Números
Esta sección desglosa los conceptos clave de la teoría de los números:
- Factores y Múltiplos: Los factores son los números que dividen a otro número de forma exacta; los múltiplos son los productos de un número.
- Números Primos y Compuestos: Los números primos tienen exactamente dos factores (1 y ellos mismos); los números compuestos tienen más de dos.
- Reglas de Divisibilidad: Atajos para determinar si un número es divisible por 2, 3, 5, 9, 10 y otros divisores comunes.
- Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo: El MCD es el factor compartido más grande; el mcm es el múltiplo compartido más pequeño.
Ejemplos de la Teoría de los Números
Ejemplos de Factores y Múltiplos
- Factores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12: todos los números que dividen a 12 de forma exacta.
- Los primeros cinco múltiplos de 7: 7, 14, 21, 28, 35: se obtienen multiplicando 7 × 1, 7 × 2, 7 × 3, etc.
- Un profesor organiza 24 sillas en filas iguales. Los posibles tamaños de fila son los factores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 o 24.
Ejemplos de Números Primos y Compuestos
- El número 17 es primo porque sus únicos factores son 1 y 17.
- El número 18 es compuesto porque tiene los factores 1, 2, 3, 6, 9 y 18.
- Para comprobar si 29 es primo, se prueba la divisibilidad por 2, 3 y 5 (primos hasta √29 ≈ 5.4). Ninguno divide de forma exacta, por lo que 29 es primo.
Ejemplos de Reglas de Divisibilidad
- 84 es divisible por 2 (termina en 4), por 3 (8 + 4 = 12, que es divisible por 3) y por 4 (84 ÷ 4 = 21).
- 135 es divisible por 5 (termina en 5) y por 9 (1 + 3 + 5 = 9, que es divisible por 9).
- Para comprobar rápidamente si 276 es divisible por 3: sumar los dígitos 2 + 7 + 6 = 15, y 15 es divisible por 3, por lo que sí.
Ejemplos de MCD y mcm
- MCD de 12 y 18: Los factores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6, 12. Los factores de 18 son 1, 2, 3, 6, 9, 18. El máximo común divisor es 6.
- mcm de 4 y 6: Los múltiplos de 4 son 4, 8, 12, 16... Los múltiplos de 6 son 6, 12, 18... El mínimo común múltiplo es 12.
- Para sumar 1/8 + 1/6, se encuentra el mcm de 8 y 6, que es 24, y luego se reescribe como 3/24 + 4/24 = 7/24.