Poniendo las derivadas en práctica: Aplicaciones de las derivadas
Las derivadas no son solo cálculos abstractos, sino que sirven para resolver problemas reales. Encontrar valores máximos y mínimos, determinar dónde una función aumenta o disminuye, analizar la forma de las curvas y modelar el movimiento son solo algunas de las aplicaciones que se basan en las derivadas. Estas aplicaciones se encuentran en la física, la economía, la biología y la ingeniería.
Componentes de las aplicaciones de las derivadas
Esta sección cubre las principales áreas de aplicación:
- Encontrar extremos: Utilice la primera derivada para localizar los puntos críticos (donde f'(x) = 0 o no está definida), y luego clasifíquelos como máximos locales, mínimos locales o ninguno de los dos.
- Intervalos crecientes y decrecientes: Una función aumenta donde f'(x) > 0 y disminuye donde f'(x) < 0.
- Optimización: Defina una función a partir de un escenario del mundo real, calcule su derivada, establezca f'(x) = 0 y resuelva para encontrar el valor óptimo.
- Tasas relacionadas: Cuando dos o más cantidades cambian con el tiempo, utilice la derivación implícita y la regla de la cadena para determinar cómo se relacionan sus tasas.
Ejemplos de aplicaciones de las derivadas
Ejemplos de búsqueda de extremos
- Para f(x) = x² - 4x + 3, f'(x) = 2x - 4 = 0, lo que da x = 2. Dado que f''(2) = 2 > 0, x = 2 es un mínimo local con f(2) = -1.
- Para f(x) = -x² + 6x, f'(x) = -2x + 6 = 0, lo que da x = 3. Dado que f''(3) = -2 < 0, x = 3 es un máximo local con f(3) = 9.
- Para f(x) = x³ - 3x, f'(x) = 3x² - 3 = 0, lo que da x = ±1. f(-1) = 2 es un máximo local y f(1) = -2 es un mínimo local.
Ejemplos de intervalos crecientes y decrecientes
- Para f(x) = x² - 2x, f'(x) = 2x - 2. Establecer f'(x) = 0 da x = 1. La función disminuye en (-∞, 1) y aumenta en (1, ∞).
- Para f(x) = x³, f'(x) = 3x². Dado que 3x² ≥ 0 para todo x (y es igual a 0 solo en x = 0), la función es creciente en todas partes.
- Para f(x) = -x³ + 12x, f'(x) = -3x² + 12 = 0, lo que da x = ±2. La función aumenta en (-2, 2) y disminuye fuera de ese intervalo.
Ejemplos de optimización
- Maximizar el área de un rectángulo con un perímetro de 40 cm: Si el ancho = x, el largo = 20 - x, el área A = x(20 - x) = 20x - x². A'(x) = 20 - 2x = 0, lo que da x = 10. El área máxima es de 100 cm² (un cuadrado).
- Un agricultor tiene 200 metros de cerca para un corral rectangular contra la pared de un granero. Con tres lados cercados: A = x(200 - 2x), A'(x) = 200 - 4x = 0, x = 50 m. El área máxima es de 5.000 m².
- Encontrar la suma mínima de un número positivo y su recíproco: f(x) = x + 1/x, f'(x) = 1 - 1/x² = 0, x = 1. El valor mínimo es 2.
Ejemplos de tasas relacionadas
- El radio de un globo crece a 2 cm/s. Cuando r = 5, ¿con qué rapidez cambia el volumen? V = 4/3 πr³, dV/dt = 4πr² × dr/dt = 4π(25)(2) = 200π ≈ 628,3 cm³/s.
- Una escalera de 10 pies se desliza por una pared. La base se mueve hacia afuera a 1 pie/s. Cuando la base está a 6 pies de la pared, la parte superior se desliza hacia abajo: utilizando x² + y² = 100, 2x(dx/dt) + 2y(dy/dt) = 0, y = 8, por lo que dy/dt = -6/8 × 1 = -0,75 pies/s.
- El agua llena un cono (radio 3 m, altura 6 m) a una velocidad de 2 m³/min. Cuando h = 4, r = 2, dh/dt = 2/(π × 4) = 1/(2π) ≈ 0,159 m/min.