Conectando Dos Ideas Clave: Teorema Fundamental del Cálculo
El Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) es el puente entre la derivación y la integración, demostrando que estas dos operaciones son inversas entre sí. La primera parte establece que integrar una función y luego derivarla devuelve la función original. La segunda parte establece que una integral definida se puede evaluar encontrando una antiderivada. Este teorema transforma los cálculos de áreas, que antes requerían tediosas sumatorias, en simples operaciones algebraicas.
Componentes del Teorema Fundamental
Esta sección abarca ambas partes del teorema:
- TFC Parte 1: Si F(x) = ∫ de a a x de f(t) dt, entonces F'(x) = f(x). La derivación deshace la integración.
- TFC Parte 2: ∫ de a a b de f(x) dx = F(b) - F(a), donde F es cualquier antiderivada de f. Esto proporciona un método práctico para calcular integrales definidas.
- Teorema del Cambio Neto: La integral de una tasa de cambio sobre un intervalo da el cambio neto: ∫ de a a b de f'(x) dx = f(b) - f(a).
- Evaluación con el TFC: El proceso paso a paso para encontrar la antiderivada, sustituir los límites y calcular la diferencia.
Ejemplos del Teorema Fundamental
Ejemplos de la TFC Parte 1
- Si F(x) = ∫ de 0 a x de t² dt, entonces F'(x) = x²; la derivada de la integral devuelve la función original.
- Si F(x) = ∫ de 1 a x de (3t + 5) dt, entonces F'(x) = 3x + 5.
- Si F(x) = ∫ de 2 a x de cos(t) dt, entonces F'(x) = cos(x).
Ejemplos de la TFC Parte 2
- Evaluar ∫ de 1 a 3 de 2x dx: La antiderivada es x². F(3) - F(1) = 9 - 1 = 8.
- Evaluar ∫ de 0 a 2 de (3x² + 1) dx: La antiderivada es x³ + x. F(2) - F(0) = (8 + 2) - (0 + 0) = 10.
- Evaluar ∫ de 1 a 4 de √x dx: La antiderivada es 2x^(3/2)/3. F(4) - F(1) = 2(8)/3 - 2(1)/3 = 16/3 - 2/3 = 14/3 ≈ 4.67.
Ejemplos del Teorema del Cambio Neto
- Una población crece a una tasa de P'(t) = 100 + 2t personas por año. El aumento de población desde el año 0 hasta el año 5 es ∫ de 0 a 5 de (100 + 2t) dt = [100t + t²] de 0 a 5 = 500 + 25 = 525 personas.
- El agua fluye hacia un tanque a una velocidad de 4t litros por minuto. El agua total desde t = 0 hasta t = 3 es ∫ 4t dt = 2t², evaluado como 2(9) - 0 = 18 litros.
- La velocidad de un automóvil es v(t) = 3t m/s. La distancia desde t = 2 hasta t = 6 es ∫ 3t dt = 3t²/2, evaluado como 3(36)/2 - 3(4)/2 = 54 - 6 = 48 metros.
Ejemplos de Evaluación Paso a Paso
- Evaluar ∫ de -1 a 2 de (x² - 1) dx: Paso 1: La antiderivada es x³/3 - x. Paso 2: F(2) = 8/3 - 2 = 2/3. Paso 3: F(-1) = -1/3 + 1 = 2/3. Paso 4: 2/3 - 2/3 = 0.
- Evaluar ∫ de 0 a π de sin(x) dx: La antiderivada es -cos(x). Evaluar: -cos(π) - (-cos(0)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2.
- Evaluar ∫ de 1 a e de 1/x dx: La antiderivada es ln(x). Evaluar: ln(e) - ln(1) = 1 - 0 = 1.