Acercándose a un Valor: Límites y Continuidad
Los límites describen el valor al que se acerca una función a medida que la entrada se acerca cada vez más a un número particular, incluso si la función nunca alcanza realmente ese valor. La continuidad significa que una función no tiene interrupciones, saltos ni agujeros en un punto. En conjunto, los límites y la continuidad forman la base teórica para las derivadas y las integrales, los dos pilares del cálculo.
Componentes de Límites y Continuidad
Esta sección cubre los conceptos clave:
- Evaluación de límites: Hallar el valor al que se acerca una función cuando x → a, utilizando la sustitución directa, la factorización o la racionalización.
- Límites unilaterales: El límite por la izquierda (x → a⁻) y el límite por la derecha (x → a⁺) pueden ser diferentes; el límite bilateral existe solo cuando ambos son iguales.
- Límites en el infinito: Describir el comportamiento de una función a medida que x crece sin límite, revelando asíntotas horizontales.
- Continuidad: Una función es continua en x = a si f(a) está definida, el límite cuando x → a existe y el límite es igual a f(a).
Ejemplos de Límites y Continuidad
Ejemplos de evaluación de límites
- Hallar lim(x→3) de (2x + 1): La sustitución directa da 2(3) + 1 = 7.
- Hallar lim(x→2) de (x² - 4)/(x - 2): Factorizar el numerador como (x-2)(x+2), cancelar (x-2), quedando lim(x→2) de (x+2) = 4.
- Hallar lim(x→0) de sin(x)/x: Este es un límite bien conocido que es igual a 1 (se utiliza con frecuencia en las demostraciones del cálculo).
Ejemplos de límites unilaterales
- Para f(x) = |x|/x, el límite por la izquierda cuando x → 0⁻ es -1 y el límite por la derecha cuando x → 0⁺ es 1. Dado que son diferentes, el límite bilateral no existe.
- Para una función escalonada que es igual a 2 cuando x < 1 y a 5 cuando x ≥ 1, el límite por la izquierda en x = 1 es 2 y el límite por la derecha es 5.
- Para f(x) = √x, el límite por la izquierda cuando x → 0⁻ no existe (la raíz cuadrada de números negativos no está definida), pero el límite por la derecha cuando x → 0⁺ es 0.
Ejemplos de límites en el infinito
- Hallar lim(x→∞) de 3/x: A medida que x crece, 3/x se reduce a 0. La asíntota horizontal es y = 0.
- Hallar lim(x→∞) de (2x + 1)/(x - 3): Dividir el numerador y el denominador por x para obtener (2 + 1/x)/(1 - 3/x), que se acerca a 2/1 = 2.
- Hallar lim(x→∞) de (5x²)/(x² + 4): Dividir por x² para obtener 5/(1 + 4/x²), que se acerca a 5.
Ejemplos de continuidad
- f(x) = x² es continua en todas partes; se puede dibujar la parábola sin levantar el lápiz.
- f(x) = 1/x no es continua en x = 0 porque f(0) no está definida (división por cero).
- La función definida como f(x) = x + 1 cuando x ≠ 2 y f(2) = 5 tiene una discontinuidad en x = 2 porque el límite (que es 3) no es igual a f(2) = 5.