Tasas de cambio: Derivadas
Una derivada mide la rapidez con la que cambia la salida de una función con respecto a su entrada; es la tasa de cambio instantánea en cualquier punto. Se escribe como f'(x) o dy/dx, y la derivada es la pendiente de la línea tangente a la curva en un punto dado. Las derivadas se utilizan para analizar el movimiento, optimizar sistemas y modelar los cambios en la ciencia, la ingeniería y la economía.
Componentes de las derivadas
Esta sección cubre las reglas y técnicas fundamentales de las derivadas:
- Regla de la potencia: Para f(x) = xⁿ, la derivada es f'(x) = nxⁿ⁻¹.
- Reglas de la suma y la constante: La derivada de una suma es la suma de las derivadas; las constantes se factorizan y la derivada de una constante sola es 0.
- Reglas del producto y del cociente: Regla del producto: (fg)' = f'g + fg'. Regla del cociente: (f/g)' = (f'g - fg') / g².
- Regla de la cadena: Para funciones compuestas, d/dx[f(g(x))] = f'(g(x)) × g'(x) — se diferencia la función exterior y se multiplica por la derivada de la función interior.
Ejemplos de derivadas
Ejemplos de la regla de la potencia
- Encuentre la derivada de f(x) = x⁴: f'(x) = 4x³.
- Encuentre la derivada de f(x) = 3x⁵: f'(x) = 15x⁴.
- Encuentre la derivada de f(x) = x² + 6x - 2: f'(x) = 2x + 6.
Ejemplos de las reglas de la suma y la constante
- Derivada de f(x) = 5x³ - 2x + 7: f'(x) = 15x² - 2 (la constante 7 desaparece).
- Derivada de f(x) = 4x² + 3x: f'(x) = 8x + 3.
- Derivada de f(x) = 10: f'(x) = 0 (una constante tiene una tasa de cambio cero).
Ejemplos de las reglas del producto y del cociente
- Encuentre d/dx de x² × sin(x): Usando la regla del producto, 2x × sin(x) + x² × cos(x).
- Encuentre d/dx de (3x + 1)(x² - 4): La regla del producto da 3(x² - 4) + (3x + 1)(2x) = 3x² - 12 + 6x² + 2x = 9x² + 2x - 12.
- Encuentre d/dx de x/(x + 1): La regla del cociente da ((1)(x + 1) - x(1)) / (x + 1)² = 1/(x + 1)².
Ejemplos de la regla de la cadena
- Encuentre d/dx de (2x + 3)⁵: La derivada exterior es 5(2x + 3)⁴, la derivada interior es 2, por lo que el resultado es 10(2x + 3)⁴.
- Encuentre d/dx de √(x² + 1): Reescriba como (x² + 1)^(1/2), luego 1/2 × (x² + 1)^(-1/2) × 2x = x/√(x² + 1).
- Encuentre d/dx de sin(3x): La derivada exterior da cos(3x), multiplicada por la derivada interior 3, lo que da 3cos(3x).