Sumándolo todo: Integrales
La integración es el proceso inverso de la derivación; permite hallar la acumulación total de una cantidad a partir de su tasa de cambio. La integral de una función representa el área bajo su curva, lo que la relaciona con la distancia recorrida, los ingresos totales obtenidos, el volumen llenado y un sinnúmero de otros problemas de acumulación. Dominar las reglas básicas de integración es esencial para todos los campos de las matemáticas avanzadas.
Componentes de las integrales
Esta sección abarca las técnicas fundamentales de integración:
- Integrales indefinidas: La antiderivada F(x) + C, donde C es la constante de integración. El resultado es una familia de funciones.
- Regla de la potencia para la integración: La integral de xⁿ es xⁿ⁺¹/(n+1) + C, válida para todo n ≠ -1.
- Integrales definidas: La integral de a a b da un número específico que representa el área neta bajo la curva entre x = a y x = b.
- Propiedades básicas de la integración: La integral de una suma es la suma de las integrales; las constantes pueden factorizarse.
Ejemplos de integrales
Ejemplos de integrales indefinidas
- Integrar ∫ x³ dx: Usando la regla de la potencia, x⁴/4 + C.
- Integrar ∫ 5x² dx: Factorizar 5, luego 5 × x³/3 + C = 5x³/3 + C.
- Integrar ∫ (4x + 3) dx: Integrar término por término para obtener 2x² + 3x + C.
Ejemplos de la regla de la potencia
- Integrar ∫ x⁵ dx = x⁶/6 + C.
- Integrar ∫ √x dx = ∫ x^(1/2) dx = x^(3/2)/(3/2) + C = 2x^(3/2)/3 + C.
- Integrar ∫ 1/x² dx = ∫ x⁻² dx = x⁻¹/(-1) + C = -1/x + C.
Ejemplos de integrales definidas
- Evaluar ∫ de 0 a 3 de 2x dx: La antiderivada es x². Evaluar: 3² - 0² = 9.
- Evaluar ∫ de 1 a 4 de x² dx: La antiderivada es x³/3. Evaluar: 64/3 - 1/3 = 63/3 = 21.
- Hallar el área bajo y = 3 desde x = 0 hasta x = 5: ∫ 3 dx = 3x, evaluada de 0 a 5, da 15 (un rectángulo de 5 de ancho y 3 de alto).
Ejemplos de propiedades de la integración
- Integrar ∫ (x² + 3x - 1) dx = x³/3 + 3x²/2 - x + C.
- Integrar ∫ 7 × x⁴ dx = 7 × x⁵/5 + C = 7x⁵/5 + C.
- Un automóvil viaja a v(t) = 3t² m/s. La distancia total desde t = 0 hasta t = 4 es ∫ 3t² dt = t³, evaluada de 0 a 4, da 64 metros.