Midiendo el Mundo: Aplicaciones de las Integrales
Las integrales van mucho más allá de encontrar áreas bajo curvas; calculan volúmenes de sólidos, cantidades totales acumuladas, valores promedio y el trabajo realizado por fuerzas. Estas aplicaciones convierten a las integrales en herramientas indispensables en física, ingeniería, economía y biología para medir cosas que cambian continuamente.
Componentes de las Aplicaciones de las Integrales
Esta sección cubre las principales áreas de aplicación:
- Área entre Curvas: El área entre dos funciones f(x) y g(x) desde a hasta b es ∫ de a a b de |f(x) - g(x)| dx.
- Volúmenes de Revolución: Al girar una región alrededor de un eje, se crea un sólido cuyo volumen se puede encontrar utilizando el método del disco: V = π ∫ [f(x)]² dx.
- Valor Promedio de una Función: El valor promedio de f(x) en [a, b] es (1/(b-a)) × ∫ de a a b de f(x) dx.
- Acumulación y Cambio Total: Integrar una función de tasa sobre un intervalo proporciona la cantidad total acumulada durante ese tiempo.
Ejemplos de Aplicaciones de las Integrales
Ejemplos de Área entre Curvas
- Encuentre el área entre y = x² e y = x desde 0 hasta 1: ∫ de 0 a 1 de (x - x²) dx = [x²/2 - x³/3] de 0 a 1 = 1/2 - 1/3 = 1/6.
- Encuentre el área entre y = 4 e y = x² desde -2 hasta 2: ∫ de -2 a 2 de (4 - x²) dx = [4x - x³/3] de -2 a 2 = (8 - 8/3) - (-8 + 8/3) = 32/3 ≈ 10.67.
- El área entre dos curvas de ingresos desde el mes 1 hasta el mes 6 proporciona la diferencia total de ingresos entre dos productos durante ese período.
Ejemplos de Volumen de Revolución
- Gire y = x desde 0 hasta 3 alrededor del eje x: V = π ∫ de 0 a 3 de x² dx = π[x³/3] de 0 a 3 = π(9) = 9π ≈ 28.27 unidades cúbicas.
- Gire y = √x desde 0 hasta 4 alrededor del eje x: V = π ∫ de 0 a 4 de x dx = π[x²/2] de 0 a 4 = π(8) = 8π ≈ 25.13 unidades cúbicas.
- Una forma de cuenco formada al girar y = x² desde 0 hasta 2 tiene un volumen V = π ∫ de 0 a 2 de x⁴ dx = π[x⁵/5] de 0 a 2 = 32π/5 ≈ 20.11 unidades cúbicas.
Ejemplos de Valor Promedio
- Encuentre el promedio de f(x) = x² en [0, 3]: Promedio = (1/3) × ∫ de 0 a 3 de x² dx = (1/3)(9) = 3.
- Encuentre la temperatura promedio si T(t) = 70 + 10sin(t) en [0, π]: Promedio = (1/π) × ∫ de 0 a π de (70 + 10sin(t)) dt = (1/π)(70π + 20) = 70 + 20/π ≈ 76.37°.
- La tasa de producción de una fábrica es f(t) = 50 + 4t unidades/hora. La tasa promedio de t = 0 a t = 8 es (1/8) × ∫(50 + 4t) dt = (1/8)(400 + 128) = 66 unidades/hora.
Ejemplos de Acumulación
- El aceite se filtra a una velocidad de r(t) = 100 - 5t galones/hora. El total filtrado de t = 0 a t = 10 es ∫(100 - 5t) dt = [100t - 5t²/2] de 0 a 10 = 1,000 - 250 = 750 galones.
- El flujo de ingresos es R(t) = 200e^(0.05t) dólares/día. El ingreso total desde el día 0 hasta el día 30 es ∫ 200e^(0.05t) dt = 4,000[e^(1.5) - 1] ≈ $12,936.
- Un aspersor entrega agua a una velocidad de w(t) = 3 + 0.5t galones/minuto. El agua total en 10 minutos es ∫(3 + 0.5t) dt = [3t + 0.25t²] de 0 a 10 = 30 + 25 = 55 galones.