Misma forma, mismo o diferente tamaño: congruencia y semejanza
Las figuras congruentes son idénticas en forma y tamaño; una puede colocarse exactamente encima de la otra mediante transformaciones rígidas. Las figuras semejantes tienen la misma forma, pero pueden diferir en tamaño, con todos los ángulos correspondientes iguales y los lados correspondientes en proporción. Estos conceptos sustentan las demostraciones, los dibujos a escala y las aplicaciones del mundo real, como la lectura de mapas y la construcción de modelos.
Componentes de la congruencia y la semejanza
Esta sección cubre los principios clave:
- Criterios de congruencia: Los triángulos son congruentes si cumplen con LLL (lado-lado-lado), LAL (lado-ángulo-lado), ALA (ángulo-lado-ángulo) o AAL (ángulo-ángulo-lado).
- Criterios de semejanza: Los triángulos son semejantes si cumplen con AA (ángulo-ángulo), semejanza LLL (todos los lados proporcionales) o semejanza LAL (dos lados proporcionales con el ángulo incluido igual).
- Partes correspondientes: En las figuras congruentes o semejantes, los lados y ángulos que coinciden se denominan partes correspondientes. En las figuras congruentes, las partes correspondientes son iguales (CPCTC).
- Factor de escala: La relación de las longitudes de los lados correspondientes en las figuras semejantes. Si el factor de escala es k, entonces las áreas se escalan por k² y los volúmenes se escalan por k³.
Ejemplos de congruencia y semejanza
Ejemplos de criterios de congruencia
- Dos triángulos tienen lados de 5, 7, 9 cm y 5, 7, 9 cm. Por LLL, son congruentes.
- El triángulo A tiene lados de 6, 8 con un ángulo incluido de 50°. El triángulo B es igual. Por LAL, son congruentes.
- El triángulo P tiene ángulos de 40° y 60° con el lado entre ellos que mide 10 cm. El triángulo Q coincide. Por ALA, son congruentes.
Ejemplos de criterios de semejanza
- El triángulo X tiene ángulos de 30° y 70°. El triángulo Y tiene ángulos de 30° y 70°. Por AA, son semejantes (el tercer ángulo debe ser de 80° en ambos).
- El triángulo A tiene lados de 3, 4, 5. El triángulo B tiene lados de 6, 8, 10. Cada par está en la relación 1:2, por lo que, por la semejanza LLL, son semejantes.
- Dos triángulos comparten un ángulo de 45° y los lados que forman ese ángulo están en la relación 2:3 en ambos. Por la semejanza LAL, son semejantes.
Ejemplos de partes correspondientes
- Los triángulos ABC y DEF son congruentes. Si AB = 12, entonces DE = 12. Si el ángulo A = 55°, entonces el ángulo D = 55°.
- En triángulos semejantes con un factor de escala de 3, si un lado del triángulo más pequeño es de 4 cm, el lado correspondiente del más grande es de 4 × 3 = 12 cm.
- Dos rectángulos congruentes tienen diagonales, anchos y longitudes coincidentes; cada medida es idéntica.
Ejemplos de factor de escala
- Se construye un coche de juguete a escala 1:24. Si el coche real mide 4,8 metros de largo, el modelo mide 4,8 ÷ 24 = 0,2 metros (20 cm).
- Dos triángulos semejantes tienen lados en la relación 2:5. Si el triángulo más pequeño tiene un área de 12 cm², el más grande tiene un área de 12 × (5/2)² = 12 × 6,25 = 75 cm².
- Un mapa tiene una escala de 1:50.000. Una distancia de 3 cm en el mapa representa 3 × 50.000 = 150.000 cm = 1,5 km en la vida real.