La regla del ángulo recto: Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras establece que en cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado más largo, opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados: a² + b² = c². Esta única fórmula permite resolver cálculos de distancias, mediciones estructurales y problemas de navegación que aparecen en la construcción, la ingeniería y la geometría cotidiana.
Componentes del teorema de Pitágoras
Esta sección cubre las principales aplicaciones del teorema:
- Hallar la hipotenusa: Dados los dos catetos a y b, calcular c = √(a² + b²).
- Hallar un cateto: Dada la hipotenusa c y un cateto, calcular el cateto que falta: a = √(c² - b²).
- Triples pitagóricos: Conjuntos de tres números enteros que satisfacen a² + b² = c², como 3-4-5, 5-12-13 y 8-15-17.
- Aplicaciones en el mundo real: Utilizar el teorema para encontrar distancias, verificar ángulos rectos y resolver problemas prácticos de medición.
Ejemplos del teorema de Pitágoras
Ejemplos de cómo hallar la hipotenusa
- Un triángulo rectángulo tiene catetos de 3 y 4. Usando a² + b² = c²: 9 + 16 = 25, por lo tanto, c = √25 = 5.
- Un triángulo rectángulo tiene catetos de 6 y 8. Calcular 36 + 64 = 100, por lo tanto, c = √100 = 10.
- Un triángulo rectángulo tiene catetos de 5 y 12. Calcular 25 + 144 = 169, por lo tanto, c = √169 = 13.
Ejemplos de cómo hallar un cateto
- Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de 10 y un cateto de 6. Calcular a = √(100 - 36) = √64 = 8.
- Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de 13 y un cateto de 5. Calcular a = √(169 - 25) = √144 = 12.
- Una escalera de 15 pies de largo se apoya contra una pared, con su base a 9 pies de la pared. La altura que alcanza es √(225 - 81) = √144 = 12 pies.
Ejemplos de triples pitagóricos
- El triple 3-4-5 se puede escalar: multiplicar por 2 para obtener 6-8-10, por 3 para obtener 9-12-15, y así sucesivamente.
- Verificar si 7-24-25 es un triple: 49 + 576 = 625 y 25² = 625 ✓.
- Verificar si 5-11-12 es un triple: 25 + 121 = 146, pero 12² = 144, por lo tanto, no — no es un triángulo rectángulo.
Ejemplos de aplicaciones
- Un campo rectangular mide 40 metros de ancho por 30 metros de largo. La distancia diagonal a través de él es √(1.600 + 900) = √2.500 = 50 metros.
- Una pantalla de televisión mide 36 pulgadas de ancho y 27 pulgadas de alto. La diagonal es √(1.296 + 729) = √2.025 = 45 pulgadas.
- Dos excursionistas parten del mismo punto. Uno camina 8 km hacia el norte y el otro camina 6 km hacia el este. La distancia en línea recta entre ellos es √(64 + 36) = √100 = 10 km.