Puntos en el Plano: Geometría Analítica
La geometría analítica utiliza el plano de coordenadas x-y para describir la posición, la distancia y las relaciones de puntos, líneas y figuras geométricas mediante fórmulas algebraicas. Al asignar coordenadas a los objetos geométricos, los estudiantes pueden calcular distancias, encontrar puntos medios, determinar pendientes y demostrar propiedades geométricas mediante cálculos.
Componentes de la Geometría Analítica
Esta sección cubre las fórmulas y los conceptos esenciales:
- Representación de puntos y cuadrantes: Cada punto se identifica mediante un par ordenado (x, y), ubicado en uno de los cuatro cuadrantes o en un eje.
- Fórmula de la distancia: La distancia entre dos puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂) es d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²).
- Fórmula del punto medio: El punto medio de un segmento es ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2).
- Pendiente: La inclinación de una línea entre dos puntos es m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁), que describe la razón entre el cambio vertical y el cambio horizontal.
Ejemplos de Geometría Analítica
Ejemplos de representación de puntos
- El punto (3, -2) está en el cuadrante IV: 3 unidades a la derecha y 2 unidades hacia abajo desde el origen.
- El punto (-4, 5) está en el cuadrante II: 4 unidades a la izquierda y 5 unidades hacia arriba desde el origen.
- El punto (0, 6) se encuentra en el eje y, no en ningún cuadrante.
Ejemplos de la fórmula de la distancia
- Encuentre la distancia entre (1, 2) y (4, 6): d = √((4-1)² + (6-2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
- Encuentre la distancia entre (-3, 1) y (5, 1): d = √((5-(-3))² + (1-1)²) = √(64 + 0) = 8 (un segmento horizontal).
- Dos ciudades se encuentran en las coordenadas (2, 3) y (10, 9) en un mapa donde cada unidad es 1 milla. Distancia = √(64 + 36) = √100 = 10 millas.
Ejemplos de la fórmula del punto medio
- Encuentre el punto medio de (2, 8) y (6, 4): M = ((2+6)/2, (8+4)/2) = (4, 6).
- Encuentre el punto medio de (-3, 5) y (7, -1): M = ((-3+7)/2, (5+(-1))/2) = (2, 2).
- Una cerca se extiende desde (0, 0) hasta (12, 8). El poste central se coloca en el punto medio: (6, 4).
Ejemplos de pendiente
- Encuentre la pendiente entre (1, 3) y (4, 9): m = (9-3)/(4-1) = 6/3 = 2.
- Encuentre la pendiente entre (2, 7) y (5, 7): m = (7-7)/(5-2) = 0/3 = 0 (una línea horizontal).
- Encuentre la pendiente entre (-1, 4) y (3, -2): m = (-2-4)/(3-(-1)) = -6/4 = -3/2 (una línea descendente de izquierda a derecha).