Movimiento de figuras: Transformaciones
Las transformaciones geométricas cambian la posición, el tamaño o la orientación de una figura en el plano de coordenadas. Los cuatro tipos principales —traslaciones, reflexiones, rotaciones y homotecias— se utilizan en gráficos por ordenador, animación, arquitectura y diseño de patrones. Comprender las transformaciones también profundiza la comprensión de los estudiantes sobre la simetría y la congruencia.
Componentes de las transformaciones
Esta sección trata los cuatro tipos de transformaciones:
- Traslaciones (desplazamientos): Mueven cada punto de una figura la misma distancia en la misma dirección, lo que se describe mediante un vector (x + a, y + b).
- Reflexiones (inversiones): Invierten una figura con respecto a una línea de reflexión (como el eje x, el eje y o la línea y = x), creando una imagen especular.
- Rotaciones (giros): Giran una figura alrededor de un punto central fijo en un ángulo determinado. Las rotaciones comunes son de 90°, 180° y 270°.
- Homotecias (cambios de tamaño): Amplían o reducen una figura a partir de un punto central mediante un factor de escala. Un factor mayor que 1 amplía; un factor entre 0 y 1 reduce.
Ejemplos de transformaciones
Ejemplos de traslación
- Trasladar el punto (3, 5) mediante el vector (2, -3): el nuevo punto es (3 + 2, 5 - 3) = (5, 2).
- Trasladar un triángulo con vértices (1, 1), (4, 1), (2, 4) 3 unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba: los nuevos vértices son (4, 3), (7, 3), (5, 6).
- Una pieza de ajedrez se mueve de la casilla (2, 1) a (5, 4), lo que representa una traslación de (+3, +3).
Ejemplos de reflexión
- Reflejar (4, 3) con respecto al eje x: la coordenada x permanece igual y la coordenada y cambia de signo, lo que da (4, -3).
- Reflejar (4, 3) con respecto al eje y: la coordenada y permanece igual y la coordenada x cambia de signo, lo que da (-4, 3).
- Reflejar el punto (2, 5) con respecto a la línea y = x: intercambiar las coordenadas para obtener (5, 2).
Ejemplos de rotación
- Rotar (3, 2) 90° en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del origen: aplicar la regla (x, y) → (-y, x) para obtener (-2, 3).
- Rotar (5, -1) 180° alrededor del origen: aplicar (x, y) → (-x, -y) para obtener (-5, 1).
- Una aspa de molino gira 90° en el sentido de las agujas del reloj. Un punto en (4, 0) se mueve a (0, -4) utilizando (x, y) → (y, -x).
Ejemplos de homotecia
- Realizar una homotecia del punto (2, 3) con un factor de escala de 3 a partir del origen: multiplicar ambas coordenadas por 3 para obtener (6, 9).
- Realizar una homotecia de un triángulo con vértices (4, 2), (8, 2), (6, 6) con un factor de escala de 1/2 a partir del origen: los nuevos vértices son (2, 1), (4, 1), (3, 3).
- Una foto mide 4 pulgadas × 6 pulgadas. Ampliarla con un factor de escala de 1,5 da 6 pulgadas × 9 pulgadas.