Les éléments de base de l’algèbre : les expressions algébriques
Les expressions algébriques utilisent des variables, des constantes et des opérations pour représenter des relations mathématiques sous une forme générale. Maîtriser la façon de rédiger, de simplifier, de factoriser et d’évaluer ces expressions est essentiel pour résoudre des équations, tracer des graphiques de fonctions et modéliser des situations réelles tout au long de l’algèbre et au-delà.
Composantes des expressions algébriques
Cette section aborde les compétences essentielles pour travailler avec des expressions algébriques :
- Termes, coefficients et constantes : un terme est le produit de nombres et de variables (comme 3x²) ; le coefficient est la partie numérique (3) ; une constante ne contient pas de variable (comme 7).
- Combinaison de termes semblables : addition ou soustraction de termes qui partagent la même variable et le même exposant afin de simplifier une expression.
- Propriété distributive : multiplication d’un facteur par une somme ou une différence à l’intérieur de parenthèses : a(b + c) = ab + ac.
- Factorisation des facteurs communs : application inverse de la distribution en extrayant le plus grand facteur commun de tous les termes.
Exemples d’expressions algébriques
Exemples de termes, de coefficients et de constantes
- Dans l’expression 5x² - 3x + 7, les termes sont 5x², -3x et 7. Les coefficients sont 5 et -3, et 7 est la constante.
- Dans 4ab + 2a - 9, le coefficient de ab est 4, le coefficient de a est 2, et -9 est le terme constant.
- Identifiez les parties de -2y³ + y - 1 : le coefficient de y³ est -2, le coefficient de y est 1 (implicite), et -1 est la constante.
Exemples de combinaison de termes semblables
- Simplifiez 4x + 7 - 2x + 3 : regroupez les termes semblables pour obtenir (4x - 2x) + (7 + 3) = 2x + 10.
- Simplifiez 3a² + 5a - a² + 2a : regroupez pour obtenir (3a² - a²) + (5a + 2a) = 2a² + 7a.
- Simplifiez 6y - 4 + 2y + 9 - y : regroupez pour obtenir (6y + 2y - y) + (-4 + 9) = 7y + 5.
Exemples de propriété distributive
- Développez 3(x + 4) : multipliez pour obtenir 3x + 12.
- Développez -2(5a - 3) : multipliez pour obtenir -10a + 6.
- Développez 4(2x² - x + 5) : multipliez chaque terme pour obtenir 8x² - 4x + 20.
Exemples de factorisation des facteurs communs
- Factorisez 6x + 18 : le plus grand facteur commun est 6, donc factorisez pour obtenir 6(x + 3).
- Factorisez 10a² - 15a : le plus grand facteur commun est 5a, donc factorisez pour obtenir 5a(2a - 3).
- Factorisez 12y³ + 8y² - 4y : le plus grand facteur commun est 4y, donc factorisez pour obtenir 4y(3y² + 2y - 1).