Expressions avec des puissances : les polynômes
Les polynômes sont des expressions algébriques composées de termes dont les exposants sont des nombres entiers, allant de simples binômes comme x + 3 à des expressions complexes comme 4x³ - 2x² + 7x - 5. L’addition, la soustraction, la multiplication et la factorisation des polynômes sont des compétences essentielles pour résoudre des équations de degré supérieur, modéliser des courbes et préparer le terrain pour le calcul différentiel et intégral.
Composantes des polynômes
Cette section traite des opérations et du vocabulaire clés :
- Classification des polynômes : selon le nombre de termes (monôme, binôme, trinôme) et selon le degré (le plus grand exposant présent).
- Addition et soustraction de polynômes : regrouper les termes semblables, en conservant les exposants et les variables correspondants.
- Multiplication de polynômes : utiliser la propriété distributive (FOIL pour les binômes) pour multiplier chaque terme par chaque terme de l’autre polynôme.
- Factorisation de polynômes : inverser la multiplication pour exprimer un polynôme sous forme d’un produit de facteurs plus simples.
Exemples de polynômes
Exemples de classification
- 5x² est un monôme (un terme) de degré 2.
- 3x + 7 est un binôme (deux termes) de degré 1.
- 2x³ - x² + 4x - 9 est un polynôme avec quatre termes et de degré 3.
Exemples d’addition et de soustraction
- Additionner (3x² + 2x - 5) + (x² - 4x + 3) : regrouper les termes semblables pour obtenir 4x² - 2x - 2.
- Soustraire (5x² + x - 7) - (2x² - 3x + 1) : distribuer le signe négatif et regrouper : 3x² + 4x - 8.
- Additionner (4a³ - 2a) + (a³ + 5a - 3) : regrouper les termes semblables pour obtenir 5a³ + 3a - 3.
Exemples de multiplication
- Multiplier (x + 3)(x + 5) en utilisant FOIL : x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15.
- Multiplier (2x - 1)(x + 4) : 2x² + 8x - x - 4 = 2x² + 7x - 4.
- Multiplier (x + 2)(x² - 3x + 1) : distribuer chaque terme : x³ - 3x² + x + 2x² - 6x + 2 = x³ - x² - 5x + 2.
Exemples de factorisation
- Factoriser x² + 5x + 6 : trouver deux nombres qui, multipliés, donnent 6 et, additionnés, donnent 5 ; il s’agit de 2 et 3, ce qui donne (x + 2)(x + 3).
- Factoriser x² - 9 : il s’agit d’une différence de carrés, elle se factorise donc en (x + 3)(x - 3).
- Factoriser 2x² + 7x + 3 : trouver les facteurs de 2 × 3 = 6 qui, additionnés, donnent 7 ; il s’agit de 6 et 1. Réécrire sous la forme 2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (2x + 1)(x + 3).