Systèmes d’équations avec plusieurs inconnues
Un système d’équations est un ensemble de deux équations ou plus qui contiennent les mêmes variables. Résoudre le système signifie trouver les valeurs qui satisfont toutes les équations simultanément. Les systèmes apparaissent chaque fois que deux conditions doivent être remplies en même temps, par exemple en comparant les forfaits téléphoniques, en déterminant le point d’intersection de deux chemins ou en équilibrant des réactions chimiques.
Composantes des systèmes d’équations
Cette section traite des principales méthodes pour résoudre les systèmes :
- **Méthode graphique **: Représenter graphiquement les deux équations sur le même plan de coordonnées ; le point d’intersection est la solution.
- **Méthode de substitution **: Résoudre une équation pour une variable, puis substituer cette expression dans l’autre équation.
- **Méthode d’élimination **: Additionner ou soustraire les équations (après multiplication si nécessaire) pour éliminer une variable, puis résoudre pour l’autre.
- **Types de solutions **: Un système a une solution (droites qui se croisent), aucune solution (droites parallèles) ou une infinité de solutions (droite identique).
Exemples de systèmes d’équations
Exemples de la méthode graphique
- Résoudre y = x + 1 et y = -x + 5 : Représenter graphiquement les deux droites. Elles se croisent au point (2, 3), donc x = 2 et y = 3.
- Résoudre y = 2x et y = x + 3 : Les droites se croisent là où 2x = x + 3, ce qui donne x = 3 et y = 6. L’intersection est (3, 6).
- Deux amis partent de positions différentes et marchent l’un vers l’autre. Leurs trajectoires, modélisées par des équations linéaires, se croisent au point où ils se rencontrent.
Exemples de la méthode de substitution
- Résoudre y = 3x et 2x + y = 10 : Substituer 3x à la place de y : 2x + 3x = 10, donc 5x = 10 et x = 2. Ensuite, y = 3(2) = 6.
- Résoudre x = y - 4 et 3x + 2y = 17 : Substituer (y - 4) à la place de x : 3(y - 4) + 2y = 17, donc 3y - 12 + 2y = 17, 5y = 29, y = 29/5. Ensuite, x = 29/5 - 4 = 9/5.
- Résoudre y = 2x + 1 et 4x - y = 5 : Substituer : 4x - (2x + 1) = 5, donc 2x - 1 = 5, 2x = 6, x = 3. Ensuite, y = 2(3) + 1 = 7.
Exemples de la méthode d’élimination
- Résoudre 2x + y = 7 et 3x - y = 8 : Additionner les équations pour éliminer y : 5x = 15, donc x = 3. Ensuite, 2(3) + y = 7, y = 1.
- Résoudre x + 2y = 10 et 3x + 2y = 18 : Soustraire la première de la seconde : 2x = 8, donc x = 4. Ensuite, 4 + 2y = 10, 2y = 6, y = 3.
- Résoudre 2x + 3y = 12 et 4x - 3y = 6 : Additionner pour éliminer y : 6x = 18, x = 3. Ensuite, 2(3) + 3y = 12, 3y = 6, y = 2.
Exemples de types de solutions
- y = 2x + 1 et y = 2x - 3 sont parallèles (même pente, ordonnées à l’origine différentes), donc il n’y a pas de solution.
- y = 3x + 2 et 6x - 2y = -4 sont la même droite (réorganiser la seconde : y = 3x + 2), donc il y a une infinité de solutions.
- y = x + 4 et y = -x + 2 ont des pentes différentes, donc elles se croisent en exactement un point : (−1, 3).