Courbes et solutions : équations du second degré
Les équations du second degré ont la forme ax² + bx + c = 0, où le plus grand exposant de la variable est 2. Leurs solutions, appelées racines, représentent les points où une parabole croise l’axe des x. Les équations du second degré permettent de modéliser le mouvement des projectiles, l’optimisation de surfaces, les calculs de bénéfices et de nombreuses autres situations où les relations ne sont pas simplement linéaires.
Composantes des équations du second degré
Cette section traite des principales méthodes pour résoudre les équations du second degré :
- Méthode de factorisation : Écrivez l’équation du second degré sous forme d’un produit de deux binômes, puis posez chaque facteur égal à zéro.
- Formule du second degré : Utilisez la formule x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a pour trouver les solutions de toute équation du second degré.
- Complétion du carré : Réécrivez l’équation de manière à ce que le côté gauche forme un trinôme carré parfait, puis prenez la racine carrée des deux côtés.
- Le discriminant : La valeur b² - 4ac détermine le nombre et le type de solutions : une valeur positive indique deux racines réelles, une valeur nulle indique une seule racine, et une valeur négative indique qu’il n’y a pas de racines réelles.
Exemples d’équations du second degré
Exemples de la méthode de factorisation
- Résolvez x² + 7x + 12 = 0 : factorisez en (x + 3)(x + 4) = 0, donc x = -3 ou x = -4.
- Résolvez x² - 5x = 0 : factorisez en x(x - 5) = 0, donc x = 0 ou x = 5.
- Résolvez 2x² - 8x + 6 = 0 : divisez par 2 pour obtenir x² - 4x + 3 = 0, factorisez en (x - 1)(x - 3) = 0, donc x = 1 ou x = 3.
Exemples de la formule du second degré
- Résolvez x² + 2x - 8 = 0 : a = 1, b = 2, c = -8. Calculez b² - 4ac = 4 + 32 = 36. Ensuite, x = (-2 ± 6) / 2, ce qui donne x = 2 ou x = -4.
- Résolvez 3x² - x - 2 = 0 : a = 3, b = -1, c = -2. Calculez b² - 4ac = 1 + 24 = 25. Ensuite, x = (1 ± 5) / 6, ce qui donne x = 1 ou x = -2/3.
- Une balle est lancée vers le haut avec une hauteur h = -16t² + 48t. Elle touche le sol lorsque h = 0 : -16t² + 48t = 0, donc t(-16t + 48) = 0, ce qui donne t = 0 ou t = 3 secondes.
Exemples de la complétion du carré
- Résolvez x² + 6x = 7 : la moitié de 6 est 3, et 3² = 9. Ajoutez 9 aux deux côtés : x² + 6x + 9 = 16, donc (x + 3)² = 16, x + 3 = ±4, ce qui donne x = 1 ou x = -7.
- Résolvez x² - 4x = 5 : la moitié de -4 est -2, et (-2)² = 4. Ajoutez 4 : x² - 4x + 4 = 9, donc (x - 2)² = 9, x - 2 = ±3, ce qui donne x = 5 ou x = -1.
- Résolvez x² + 8x + 10 = 0 : déplacez 10 : x² + 8x = -10. Ajoutez 16 : (x + 4)² = 6, donc x = -4 ± √6.
Exemples du discriminant
- Pour x² + 3x + 5 = 0 : b² - 4ac = 9 - 20 = -11 (négatif), donc il n’y a pas de solutions réelles.
- Pour x² - 6x + 9 = 0 : b² - 4ac = 36 - 36 = 0, donc il y a exactement une racine répétée : x = 3.
- Pour x² + x - 6 = 0 : b² - 4ac = 1 + 24 = 25 (positif), donc il y a deux racines réelles distinctes.