De l’entrée à la sortie : les fonctions
Une fonction est une règle qui associe exactement une sortie à chaque entrée, ce qui s’écrit f(x), où x est l’entrée et f(x) est la sortie. Les fonctions sont le langage des mathématiques pour décrire comment une quantité dépend d’une autre, des relations simples comme le doublement d’un nombre aux modèles complexes en science, en ingénierie et en économie.
Composantes des fonctions
Cette section aborde les concepts fondamentaux des fonctions :
- Notation des fonctions : Utilisation de f(x) pour nommer une fonction et l’évaluer en substituant une valeur à x.
- Domaine et ensemble d’images : Le domaine est l’ensemble de toutes les entrées valides ; l’ensemble d’images est l’ensemble de toutes les sorties possibles.
- Fonctions linéaires et non linéaires : Les fonctions linéaires produisent des graphiques en ligne droite (taux de variation constant) ; les fonctions non linéaires produisent des courbes.
- Opérations sur les fonctions : Combinaison des fonctions par l’addition, la soustraction, la multiplication, la division et la composition (f(g(x))).
Exemples de fonctions
Exemples de notation des fonctions
- Si f(x) = 2x + 3, trouvez f(4) : remplacez 4 par x pour obtenir 2(4) + 3 = 11.
- Si g(x) = x² - 1, trouvez g(-3) : remplacez -3 pour obtenir (-3)² - 1 = 9 - 1 = 8.
- Si h(x) = 5x, alors h(0) = 0, h(1) = 5 et h(2) = 10 ; chaque entrée produit exactement une sortie.
Exemples de domaine et d’ensemble d’images
- Pour f(x) = x + 4, le domaine est l’ensemble de tous les nombres réels et l’ensemble d’images est l’ensemble de tous les nombres réels.
- Pour f(x) = √x, le domaine est x ≥ 0 (pas de racine carrée de nombres négatifs) et l’ensemble d’images est f(x) ≥ 0.
- Pour f(x) = 1/x, le domaine est l’ensemble de tous les nombres réels, à l’exception de x = 0 (la division par zéro n’est pas définie).
Exemples de fonctions linéaires et non linéaires
- f(x) = 3x - 2 est linéaire : chaque augmentation de 1 de x augmente f(x) de 3. Le graphique est une ligne droite avec une pente de 3.
- f(x) = x² est non linéaire : le taux de variation augmente à mesure que x augmente. Le graphique est une parabole qui s’ouvre vers le haut.
- Une voiture qui roule à une vitesse constante de 60 mph suit une fonction linéaire d(t) = 60t, tandis qu’une balle qui tombe sous l’effet de la gravité suit une fonction non linéaire.
Exemples d’opérations sur les fonctions
- Si f(x) = x + 1 et g(x) = 2x, alors (f + g)(x) = x + 1 + 2x = 3x + 1.
- Si f(x) = x² et g(x) = x + 3, alors f(g(x)) = f(x + 3) = (x + 3)² = x² + 6x + 9.
- Si f(x) = 4x et g(x) = x/2, alors f(g(x)) = 4(x/2) = 2x et g(f(x)) = 4x/2 = 2x ; ces fonctions sont inverses, car les deux compositions donnent x lorsqu’elles sont simplifiées davantage avec la paire appropriée.