Mettre les dérivées à profit : applications des dérivées
Les dérivées ne sont pas de simples calculs abstraits ; elles servent à résoudre des problèmes concrets. La recherche des valeurs maximales et minimales, la détermination des intervalles où une fonction est croissante ou décroissante, l’analyse de la forme des courbes et la modélisation du mouvement sont autant d’applications qui reposent sur les dérivées. Ces applications se retrouvent dans les domaines de la physique, de l’économie, de la biologie et de l’ingénierie.
Composantes des applications des dérivées
Cette section traite des principaux domaines d’application :
- Recherche des extrêmes : utilisez la première dérivée pour localiser les points critiques (où f’(x) = 0 ou est indéfinie), puis classez-les comme maximums locaux, minimums locaux ou ni l’un ni l’autre.
- Intervalles croissants et décroissants : une fonction est croissante lorsque f’(x) > 0 et décroissante lorsque f’(x) < 0.
- Optimisation : définissez une fonction à partir d’un scénario réel, calculez sa dérivée, posez f’(x) = 0 et résolvez pour trouver la valeur optimale.
- Grandeurs liées : lorsque deux ou plusieurs grandeurs varient dans le temps, utilisez la dérivation implicite et la règle de la chaîne pour déterminer comment leurs taux de variation sont liés.
Exemples d’applications des dérivées
Exemples de recherche des extrêmes
- Pour f(x) = x² - 4x + 3, f’(x) = 2x - 4 = 0, ce qui donne x = 2. Puisque f’’(2) = 2 > 0, x = 2 est un minimum local, avec f(2) = -1.
- Pour f(x) = -x² + 6x, f’(x) = -2x + 6 = 0, ce qui donne x = 3. Puisque f’’(3) = -2 < 0, x = 3 est un maximum local, avec f(3) = 9.
- Pour f(x) = x³ - 3x, f’(x) = 3x² - 3 = 0, ce qui donne x = ±1. f(-1) = 2 est un maximum local et f(1) = -2 est un minimum local.
Exemples d’intervalles croissants et décroissants
- Pour f(x) = x² - 2x, f’(x) = 2x - 2. En posant f’(x) = 0, on obtient x = 1. La fonction est décroissante sur (-∞, 1) et croissante sur (1, ∞).
- Pour f(x) = x³, f’(x) = 3x². Puisque 3x² ≥ 0 pour tout x (et est égal à 0 uniquement pour x = 0), la fonction est croissante partout.
- Pour f(x) = -x³ + 12x, f’(x) = -3x² + 12 = 0, ce qui donne x = ±2. La fonction est croissante sur (-2, 2) et décroissante en dehors de cet intervalle.
Exemples d’optimisation
- Maximiser l’aire d’un rectangle dont le périmètre est de 40 cm : si la largeur = x, la longueur = 20 - x, l’aire A = x(20 - x) = 20x - x². A’(x) = 20 - 2x = 0, ce qui donne x = 10. L’aire maximale est de 100 cm² (un carré).
- Un agriculteur dispose de 200 mètres de clôture pour un enclos rectangulaire adossé à un mur de grange. Avec trois côtés clôturés : A = x(200 - 2x), A’(x) = 200 - 4x = 0, x = 50 m. L’aire maximale est de 5 000 m².
- Trouver la somme minimale d’un nombre positif et de son inverse : f(x) = x + 1/x, f’(x) = 1 - 1/x² = 0, x = 1. La valeur minimale est de 2.
Exemples de grandeurs liées
- Le rayon d’un ballon augmente de 2 cm/s. Lorsque r = 5, à quelle vitesse le volume change-t-il ? V = 4/3 πr³, dV/dt = 4πr² × dr/dt = 4π(25)(2) = 200π ≈ 628,3 cm³/s.
- Une échelle de 10 pieds glisse le long d’un mur. La base se déplace à une vitesse de 1 pied/s. Lorsque la base est à 6 pieds du mur, le sommet glisse vers le bas : en utilisant x² + y² = 100, 2x(dx/dt) + 2y(dy/dt) = 0, y = 8, donc dy/dt = -6/8 × 1 = -0,75 pied/s.
- De l’eau remplit un cône (rayon de 3 m, hauteur de 6 m) à un débit de 2 m³/min. Lorsque h = 4, r = 2, dh/dt = 2/(π × 4) = 1/(2π) ≈ 0,159 m/min.