Relier deux idées importantes : le théorème fondamental du calcul
Le théorème fondamental du calcul (TFC) est le pont entre la dérivation et l’intégration, prouvant que ces deux opérations sont l’une l’inverse de l’autre. La première partie indique que l’intégration d’une fonction, suivie de sa dérivation, donne la fonction d’origine. La deuxième partie indique qu’une intégrale définie peut être évaluée en trouvant une primitive. Ce théorème transforme les calculs d’aires, qui étaient fastidieux, en une simple algèbre.
Composantes du théorème fondamental
Cette section couvre les deux parties du théorème :
- Première partie du TFC : Si F(x) = ∫ de a à x de f(t) dt, alors F'(x) = f(x). La dérivation annule l’intégration.
- Deuxième partie du TFC : ∫ de a à b de f(x) dx = F(b) - F(a), où F est une primitive quelconque de f. Cela fournit une méthode pratique pour calculer les intégrales définies.
- Théorème du changement net : L’intégrale d’un taux de variation sur un intervalle donne le changement net : ∫ de a à b de f'(x) dx = f(b) - f(a).
- Évaluation avec le TFC : Le processus étape par étape consistant à trouver la primitive, à substituer les bornes et à calculer la différence.
Exemples du théorème fondamental
Exemples de la première partie du TFC
- Si F(x) = ∫ de 0 à x de t² dt, alors F'(x) = x² — la dérivée de l’intégrale renvoie la fonction d’origine.
- Si F(x) = ∫ de 1 à x de (3t + 5) dt, alors F'(x) = 3x + 5.
- Si F(x) = ∫ de 2 à x de cos(t) dt, alors F'(x) = cos(x).
Exemples de la deuxième partie du TFC
- Évaluer ∫ de 1 à 3 de 2x dx : la primitive est x². F(3) - F(1) = 9 - 1 = 8.
- Évaluer ∫ de 0 à 2 de (3x² + 1) dx : la primitive est x³ + x. F(2) - F(0) = (8 + 2) - (0 + 0) = 10.
- Évaluer ∫ de 1 à 4 de √x dx : la primitive est 2x^(3/2)/3. F(4) - F(1) = 2(8)/3 - 2(1)/3 = 16/3 - 2/3 = 14/3 ≈ 4,67.
Exemples du théorème du changement net
- Une population croît à un rythme de P'(t) = 100 + 2t personnes par an. L’augmentation de la population de l’année 0 à l’année 5 est ∫ de 0 à 5 de (100 + 2t) dt = [100t + t²] de 0 à 5 = 500 + 25 = 525 personnes.
- De l’eau s’écoule dans un réservoir à un débit de 4t litres par minute. La quantité totale d’eau de t = 0 à t = 3 est ∫ 4t dt = 2t², évaluée comme 2(9) - 0 = 18 litres.
- La vitesse d’une voiture est v(t) = 3t m/s. La distance de t = 2 à t = 6 est ∫ 3t dt = 3t²/2, évaluée comme 3(36)/2 - 3(4)/2 = 54 - 6 = 48 mètres.
Exemples d’évaluation étape par étape
- Évaluer ∫ de -1 à 2 de (x² - 1) dx : Étape 1 : la primitive est x³/3 - x. Étape 2 : F(2) = 8/3 - 2 = 2/3. Étape 3 : F(-1) = -1/3 + 1 = 2/3. Étape 4 : 2/3 - 2/3 = 0.
- Évaluer ∫ de 0 à π de sin(x) dx : la primitive est -cos(x). Évaluer : -cos(π) - (-cos(0)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2.
- Évaluer ∫ de 1 à e de 1/x dx : la primitive est ln(x). Évaluer : ln(e) - ln(1) = 1 - 0 = 1.