Mesurer le monde : applications des intégrales
Les intégrales vont bien au-delà du simple calcul d’aires sous des courbes : elles permettent de calculer les volumes de solides, les quantités totales accumulées, les valeurs moyennes et le travail effectué par des forces. Ces applications font des intégrales des outils indispensables en physique, en ingénierie, en économie et en biologie pour mesurer les éléments qui changent continuellement.
Composantes des applications des intégrales
Cette section couvre les principaux domaines d’application :
- Aire entre des courbes : l’aire entre deux fonctions f(x) et g(x) de a à b est ∫ de a à b de |f(x) - g(x)| dx.
- Volumes de révolution : la rotation d’une région autour d’un axe crée un solide dont le volume peut être calculé à l’aide de la méthode des disques : V = π ∫ [f(x)]² dx.
- Valeur moyenne d’une fonction : la valeur moyenne de f(x) sur [a, b] est (1/(b-a)) × ∫ de a à b de f(x) dx.
- Accumulation et changement total : l’intégration d’une fonction de taux sur un intervalle donne la quantité totale accumulée pendant cette période.
Exemples d’applications des intégrales
Exemples d’aires entre des courbes
- Déterminer l’aire entre y = x² et y = x de 0 à 1 : ∫ de 0 à 1 de (x - x²) dx = [x²/2 - x³/3] de 0 à 1 = 1/2 - 1/3 = 1/6.
- Déterminer l’aire entre y = 4 et y = x² de -2 à 2 : ∫ de -2 à 2 de (4 - x²) dx = [4x - x³/3] de -2 à 2 = (8 - 8/3) - (-8 + 8/3) = 32/3 ≈ 10,67.
- L’aire entre deux courbes de revenus du mois 1 au mois 6 donne la différence de revenus totale entre deux produits sur cette période.
Exemples de volumes de révolution
- Faire tourner y = x de 0 à 3 autour de l’axe des x : V = π ∫ de 0 à 3 de x² dx = π[x³/3] de 0 à 3 = π(9) = 9π ≈ 28,27 unités cubes.
- Faire tourner y = √x de 0 à 4 autour de l’axe des x : V = π ∫ de 0 à 4 de x dx = π[x²/2] de 0 à 4 = π(8) = 8π ≈ 25,13 unités cubes.
- Une forme de bol obtenue en faisant tourner y = x² de 0 à 2 a un volume de V = π ∫ de 0 à 2 de x⁴ dx = π[x⁵/5] de 0 à 2 = 32π/5 ≈ 20,11 unités cubes.
Exemples de valeurs moyennes
- Déterminer la moyenne de f(x) = x² sur [0, 3] : Moyenne = (1/3) × ∫ de 0 à 3 de x² dx = (1/3)(9) = 3.
- Déterminer la température moyenne si T(t) = 70 + 10sin(t) sur [0, π] : Moyenne = (1/π) × ∫ de 0 à π de (70 + 10sin(t)) dt = (1/π)(70π + 20) = 70 + 20/π ≈ 76,37°.
- Le taux de production d’une usine est de f(t) = 50 + 4t unités/heure. Le taux moyen de t = 0 à t = 8 est de (1/8) × ∫(50 + 4t) dt = (1/8)(400 + 128) = 66 unités/heure.
Exemples d’accumulation
- Des fuites d’huile se produisent à un taux de r(t) = 100 - 5t gallons/heure. Le total des fuites de t = 0 à t = 10 est ∫(100 - 5t) dt = [100t - 5t²/2] de 0 à 10 = 1 000 - 250 = 750 gallons.
- Les revenus entrent à un taux de R(t) = 200e^(0,05t) dollars/jour. Le revenu total du jour 0 au jour 30 est ∫ 200e^(0,05t) dt = 4 000[e^(1,5) - 1] ≈ 12 936 $.
- Un arroseur distribue de l’eau à un taux de w(t) = 3 + 0,5t gallons/minute. Le total de l’eau en 10 minutes est ∫(3 + 0,5t) dt = [3t + 0,25t²] de 0 à 10 = 30 + 25 = 55 gallons.