Tout additionner : les intégrales
L’intégration est l’opération inverse de la dérivation : elle permet de déterminer l’accumulation totale d’une quantité à partir de son taux de variation. L’intégrale d’une fonction représente l’aire sous sa courbe, ce qui la relie à la distance parcourue, au revenu total généré, au volume rempli et à d’innombrables autres problèmes d’accumulation. La maîtrise des règles d’intégration de base est essentielle pour toutes les branches des mathématiques avancées.
Composantes des intégrales
Cette section traite des techniques d’intégration fondamentales :
- **Intégrales indéfinies **: L’antidérivée F(x) + C, où C est la constante d’intégration. Le résultat est une famille de fonctions.
- **Règle de puissance pour l’intégration **: L’intégrale de xⁿ est xⁿ⁺¹/(n+1) + C, ce qui est valable pour tous les n ≠ -1.
- **Intégrales définies **: L’intégrale de a à b donne un nombre spécifique qui représente l’aire nette sous la courbe entre x = a et x = b.
- **Propriétés de base de l’intégration **: L’intégrale d’une somme est la somme des intégrales ; les constantes peuvent être factorisées.
Exemples d’intégrales
Exemples d’intégrales indéfinies
- Intégrer ∫ x³ dx : en utilisant la règle de puissance, on obtient x⁴/4 + C.
- Intégrer ∫ 5x² dx : on factorise 5, puis 5 × x³/3 + C = 5x³/3 + C.
- Intégrer ∫ (4x + 3) dx : on intègre terme par terme pour obtenir 2x² + 3x + C.
Exemples de la règle de puissance
- Intégrer ∫ x⁵ dx = x⁶/6 + C.
- Intégrer ∫ √x dx = ∫ x^(1/2) dx = x^(3/2)/(3/2) + C = 2x^(3/2)/3 + C.
- Intégrer ∫ 1/x² dx = ∫ x⁻² dx = x⁻¹/(-1) + C = -1/x + C.
Exemples d’intégrales définies
- Évaluer ∫ de 0 à 3 de 2x dx : l’antidérivée est x². On évalue : 3² - 0² = 9.
- Évaluer ∫ de 1 à 4 de x² dx : l’antidérivée est x³/3. On évalue : 64/3 - 1/3 = 63/3 = 21.
- Déterminer l’aire sous y = 3 de x = 0 à x = 5 : ∫ 3 dx = 3x, évaluée de 0 à 5, ce qui donne 15 (un rectangle de 5 unités de large et 3 unités de haut).
Exemples de propriétés de l’intégration
- Intégrer ∫ (x² + 3x - 1) dx = x³/3 + 3x²/2 - x + C.
- Intégrer ∫ 7 × x⁴ dx = 7 × x⁵/5 + C = 7x⁵/5 + C.
- Une voiture roule à une vitesse de v(t) = 3t² m/s. La distance totale de t = 0 à t = 4 est ∫ 3t² dt = t³, évaluée de 0 à 4, ce qui donne 64 mètres.