S’approcher d’une valeur : limites et continuité
Les limites décrivent la valeur vers laquelle tend une fonction lorsque la valeur d’entrée se rapproche de plus en plus d’un nombre particulier, même si la fonction n’atteint jamais réellement cette valeur. La continuité signifie qu’une fonction ne présente pas de rupture, de saut ou de trou en un point donné. Ensemble, les limites et la continuité constituent le fondement théorique des dérivées et des intégrales, les deux piliers du calcul différentiel et intégral.
Composantes des limites et de la continuité
Cette section traite des concepts clés :
- Calcul des limites : déterminer la valeur vers laquelle tend une fonction lorsque x → a, en utilisant la substitution directe, la factorisation ou la rationalisation.
- Limites unilatérales : la limite à gauche (x → a⁻) et la limite à droite (x → a⁺) peuvent être différentes ; la limite bilatérale n’existe que si les deux sont égales.
- Limites à l’infini : décrire le comportement d’une fonction lorsque x tend vers l’infini, ce qui révèle les asymptotes horizontales.
- Continuité : une fonction est continue en x = a si f(a) est définie, si la limite lorsque x → a existe et si la limite est égale à f(a).
Exemples de limites et de continuité
Exemples de calcul de limites
- Trouver lim(x→3) de (2x + 1) : la substitution directe donne 2(3) + 1 = 7.
- Trouver lim(x→2) de (x² - 4)/(x - 2) : factoriser le numérateur en (x-2)(x+2), simplifier en supprimant (x-2), ce qui donne lim(x→2) de (x+2) = 4.
- Trouver lim(x→0) de sin(x)/x : il s’agit d’une limite bien connue qui est égale à 1 (elle est fréquemment utilisée dans les preuves de calcul différentiel et intégral).
Exemples de limites unilatérales
- Pour f(x) = |x|/x, la limite à gauche lorsque x → 0⁻ est -1 et la limite à droite lorsque x → 0⁺ est 1. Puisqu’elles sont différentes, la limite bilatérale n’existe pas.
- Pour une fonction à marche, qui est égale à 2 lorsque x < 1 et à 5 lorsque x ≥ 1, la limite à gauche en x = 1 est 2 et la limite à droite est 5.
- Pour f(x) = √x, la limite à gauche lorsque x → 0⁻ n’existe pas (la racine carrée d’un nombre négatif n’est pas définie), mais la limite à droite lorsque x → 0⁺ est 0.
Exemples de limites à l’infini
- Trouver lim(x→∞) de 3/x : lorsque x augmente, 3/x tend vers 0. L’asymptote horizontale est y = 0.
- Trouver lim(x→∞) de (2x + 1)/(x - 3) : diviser le numérateur et le dénominateur par x pour obtenir (2 + 1/x)/(1 - 3/x), ce qui tend vers 2/1 = 2.
- Trouver lim(x→∞) de (5x²)/(x² + 4) : diviser par x² pour obtenir 5/(1 + 4/x²), ce qui tend vers 5.
Exemples de continuité
- f(x) = x² est continue partout : on peut tracer la parabole sans lever le crayon.
- f(x) = 1/x n’est pas continue en x = 0, car f(0) n’est pas définie (division par zéro).
- La fonction définie par f(x) = x + 1 lorsque x ≠ 2 et f(2) = 5 présente une discontinuité en x = 2, car la limite (qui est 3) n’est pas égale à f(2) = 5.