Taux de variation : les dérivées
Une dérivée mesure la vitesse à laquelle la valeur de sortie d’une fonction change par rapport à sa valeur d’entrée. Il s’agit du taux de variation instantané en un point donné. Écrite sous la forme f'(x) ou dy/dx, la dérivée est la pente de la tangente à la courbe en un point donné. Les dérivées sont utilisées pour analyser le mouvement, optimiser les systèmes et modéliser les changements dans les domaines de la science, de l’ingénierie et de l’économie.
Composantes des dérivées
Cette section traite des règles et techniques de dérivation fondamentales :
- Règle de la puissance : pour f(x) = xⁿ, la dérivée est f'(x) = nxⁿ⁻¹.
- Règles de la somme et de la constante : la dérivée d’une somme est la somme des dérivées ; les constantes sont factorisées, et la dérivée d’une constante seule est 0.
- Règles du produit et du quotient : règle du produit : (fg)' = f'g + fg'. Règle du quotient : (f/g)' = (f'g - fg') / g².
- Règle de la chaîne : pour les fonctions composées, d/dx[f(g(x))] = f'(g(x)) × g'(x) ; dériver la fonction extérieure et multiplier par la dérivée de la fonction intérieure.
Exemples de dérivées
Exemples de la règle de la puissance
- Trouver la dérivée de f(x) = x⁴ : f'(x) = 4x³.
- Trouver la dérivée de f(x) = 3x⁵ : f'(x) = 15x⁴.
- Trouver la dérivée de f(x) = x² + 6x - 2 : f'(x) = 2x + 6.
Exemples des règles de la somme et de la constante
- Dérivée de f(x) = 5x³ - 2x + 7 : f'(x) = 15x² - 2 (la constante 7 disparaît).
- Dérivée de f(x) = 4x² + 3x : f'(x) = 8x + 3.
- Dérivée de f(x) = 10 : f'(x) = 0 (une constante a un taux de variation nul).
Exemples des règles du produit et du quotient
- Trouver d/dx de x² × sin(x) : en utilisant la règle du produit, 2x × sin(x) + x² × cos(x).
- Trouver d/dx de (3x + 1)(x² - 4) : la règle du produit donne 3(x² - 4) + (3x + 1)(2x) = 3x² - 12 + 6x² + 2x = 9x² + 2x - 12.
- Trouver d/dx de x/(x + 1) : la règle du quotient donne ((1)(x + 1) - x(1)) / (x + 1)² = 1/(x + 1)².
Exemples de la règle de la chaîne
- Trouver d/dx de (2x + 3)⁵ : la dérivée extérieure est 5(2x + 3)⁴, la dérivée intérieure est 2, donc le résultat est 10(2x + 3)⁴.
- Trouver d/dx de √(x² + 1) : réécrire sous la forme (x² + 1)^(1/2), puis 1/2 × (x² + 1)^(-1/2) × 2x = x/√(x² + 1).
- Trouver d/dx de sin(3x) : la dérivée extérieure donne cos(3x), multipliée par la dérivée intérieure 3, ce qui donne 3cos(3x).