指数と根：指数と平方根
指数は、繰り返し乗算を簡略化するための記法です。例えば、5 × 5 × 5 × 5 の代わりに 5⁴ と書きます。一方、平方根は、ある数をそれ自身で掛け合わせると、その値になるような数を求める操作です。これらは、科学的表記法、面積と体積の計算、および生徒が次に学ぶ代数方程式の基礎を形成します。
指数と平方根の構成要素
このセクションでは、主要な概念について説明します。
- 指数の理解: 底は掛けられる数であり、指数はそれを何回掛け合わせるかを示します。
- 指数の法則: 積の法則（aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ）、べきの法則（(aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ）、およびゼロの指数（a⁰ = 1）。
- 平方根: ある数 n の平方根は、それ自身で掛け合わせると n に等しくなる値であり、√n と表記されます。
- 完全平方数と概算: 完全平方数（1、4、9、16、25、...）を認識し、完全平方数でない平方根を概算します。
指数と平方根の例
指数の理解の例
- 2⁵ を計算する：2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32。
- 10³ を計算する：10 × 10 × 10 = 1,000。10 の各乗は、ゼロを 1 つ追加します。
- 細菌のコロニーは、1 時間ごとに 2 倍に増殖します。6 時間後、その数は 2⁶ = 64 倍になります。
指数の法則の例
- 3² × 3⁴ を簡略化する：底が同じなので、指数を足します：3²⁺⁴ = 3⁶ = 729。
- (2³) ² を簡略化する：指数を掛けます：2³ˣ² = 2⁶ = 64。
- 7⁰ を計算する：ゼロの指数を持つ任意のゼロでない数は 1 に等しいため、7⁰ = 1。
平方根の例
- √49 = 7 なぜなら 7 × 7 = 49 だから。
- √144 = 12 なぜなら 12 × 12 = 144 だから。
- 正方形の庭があり、面積は 81 平方フィートです。各辺の長さは √81 = 9 フィートです。
完全平方数と概算の例
- 最初の 10 個の完全平方数は、1、4、9、16、25、36、49、64、81、および 100 です。
- √50 を概算する：7² = 49 であり、8² = 64 であるため、√50 は 7 よりわずかに大きくなります。約 7.07 です。
- √20 を概算する：4² = 16 であり、5² = 25 であるため、√20 は 4 と 5 の間になります。約 4.47 です。