입력에서 출력으로: 함수
함수는 각 입력에 정확히 하나의 출력을 할당하는 규칙입니다. 이는 f(x)로 표현되며, 여기서 x는 입력이고 f(x)는 출력입니다. 함수는 한 양이 다른 양에 어떻게 의존하는지를 설명하는 수학의 언어이며, 어떤 수를 두 배로 만드는 것과 같은 간단한 관계부터 과학, 공학, 경제학의 복잡한 모델에 이르기까지 다양하게 사용됩니다.
함수의 구성 요소
이 섹션에서는 함수의 기본 개념을 다룹니다.
- 함수 표기법: f(x)를 사용하여 함수를 나타내고 x에 값을 대입하여 함수를 계산합니다.
- 정의역 및 치역: 정의역은 모든 유효한 입력의 집합이고, 치역은 모든 가능한 출력의 집합입니다.
- 선형 함수와 비선형 함수: 선형 함수는 직선 그래프(일정한 변화율)를 생성하고, 비선형 함수는 곡선을 생성합니다.
- 함수 연산: 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 합성(f(g(x)))을 통해 함수를 결합합니다.
함수의 예시
함수 표기법 예시
- f(x) = 2x + 3인 경우, f(4)를 구합니다. x에 4를 대입하면 2(4) + 3 = 11이 됩니다.
- g(x) = x² - 1인 경우, g(-3)을 구합니다. -3을 대입하면 (-3)² - 1 = 9 - 1 = 8이 됩니다.
- h(x) = 5x인 경우, h(0) = 0, h(1) = 5, h(2) = 10입니다. 각 입력은 정확히 하나의 출력을 생성합니다.
정의역 및 치역 예시
- f(x) = x + 4인 경우, 정의역은 모든 실수이고, 치역은 모든 실수입니다.
- f(x) = √x인 경우, 정의역은 x ≥ 0(음수의 제곱근은 존재하지 않음)이고, 치역은 f(x) ≥ 0입니다.
- f(x) = 1/x인 경우, 정의역은 x = 0을 제외한 모든 실수입니다(0으로 나누는 것은 정의되지 않음).
선형 함수와 비선형 함수 예시
- f(x) = 3x - 2는 선형 함수입니다. x가 1 증가할 때마다 f(x)는 3만큼 증가합니다. 그래프는 기울기가 3인 직선입니다.
- f(x) = x²는 비선형 함수입니다. x가 증가함에 따라 변화율이 증가합니다. 그래프는 위쪽으로 열리는 포물선입니다.
- 일정한 속도 60mph로 이동하는 자동차는 선형 함수 d(t) = 60t를 따르고, 중력에 의해 떨어지는 공은 비선형 함수를 따릅니다.
함수 연산 예시
- f(x) = x + 1이고 g(x) = 2x인 경우, (f + g)(x) = x + 1 + 2x = 3x + 1입니다.
- f(x) = x²이고 g(x) = x + 3인 경우, f(g(x)) = f(x + 3) = (x + 3)² = x² + 6x + 9입니다.
- f(x) = 4x이고 g(x) = x/2인 경우, f(g(x)) = 4(x/2) = 2x이고, g(f(x)) = 4x/2 = 2x입니다. 이 함수들은 역함수입니다. 왜냐하면 적절한 쌍으로 더 간단하게 만들면 두 합성 모두 x를 반환하기 때문입니다.