곡선과 해: 2차 방정식
2차 방정식은 ax² + bx + c = 0의 형태를 가지며, 여기서 변수의 최고차항은 2입니다. 이 방정식의 해(근이라고 함)는 포물선이 x축과 만나는 지점을 나타냅니다. 2차 방정식은 포물체 운동, 면적 최적화, 이익 계산 등 관계가 단순한 선형 관계가 아닌 다양한 상황을 모델링하는 데 사용됩니다.
2차 방정식의 구성 요소
이 섹션에서는 2차 방정식을 푸는 주요 방법을 다룹니다.
- 인수분해 방법: 2차 방정식을 두 이항식의 곱으로 나타내고 각 인수를 0으로 설정합니다.
- 2차 방정식의 근의 공식: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a를 사용하여 모든 2차 방정식의 해를 구합니다.
- 제곱 완성: 방정식을 다시 써서 좌변이 완전제곱 삼항식이 되도록 한 다음 양변의 제곱근을 구합니다.
- 판별식: b² - 4ac 값은 해의 개수와 유형을 결정합니다. 양수이면 서로 다른 두 실근, 0이면 하나의 실근, 음수이면 실근이 없습니다.
2차 방정식의 예시
인수분해 방법 예시
- x² + 7x + 12 = 0 풀기: (x + 3)(x + 4) = 0으로 인수분해하므로 x = -3 또는 x = -4입니다.
- x² - 5x = 0 풀기: x(x - 5) = 0으로 인수분해하므로 x = 0 또는 x = 5입니다.
- 2x² - 8x + 6 = 0 풀기: 2로 나누어 x² - 4x + 3 = 0을 얻고, (x - 1)(x - 3) = 0으로 인수분해하므로 x = 1 또는 x = 3입니다.
2차 방정식의 근의 공식 예시
- x² + 2x - 8 = 0 풀기: a = 1, b = 2, c = -8입니다. b² - 4ac = 4 + 32 = 36을 계산합니다. 그러면 x = (-2 ± 6) / 2이므로 x = 2 또는 x = -4입니다.
- 3x² - x - 2 = 0 풀기: a = 3, b = -1, c = -2입니다. b² - 4ac = 1 + 24 = 25를 계산합니다. 그러면 x = (1 ± 5) / 6이므로 x = 1 또는 x = -2/3입니다.
- 공을 위로 던져 높이 h = -16t² + 48t가 됩니다. 공이 땅에 닿을 때 h = 0이 되므로 -16t² + 48t = 0입니다. 따라서 t(-16t + 48) = 0이므로 t = 0 또는 t = 3초입니다.
제곱 완성 예시
- x² + 6x = 7 풀기: 6의 절반은 3이고, 3² = 9입니다. 양변에 9를 더합니다: x² + 6x + 9 = 16이므로 (x + 3)² = 16, x + 3 = ±4이므로 x = 1 또는 x = -7입니다.
- x² - 4x = 5 풀기: -4의 절반은 -2이고, (-2)² = 4입니다. 4를 더합니다: x² - 4x + 4 = 9이므로 (x - 2)² = 9, x - 2 = ±3이므로 x = 5 또는 x = -1입니다.
- x² + 8x + 10 = 0 풀기: 10을 이동합니다: x² + 8x = -10입니다. 16을 더합니다: (x + 4)² = 6이므로 x = -4 ± √6입니다.
판별식 예시
- x² + 3x + 5 = 0의 경우: b² - 4ac = 9 - 20 = -11(음수)이므로 실근이 없습니다.
- x² - 6x + 9 = 0의 경우: b² - 4ac = 36 - 36 = 0이므로 정확히 하나의 중근이 있습니다: x = 3입니다.
- x² + x - 6 = 0의 경우: b² - 4ac = 1 + 24 = 25(양수)이므로 서로 다른 두 실근이 있습니다.