미지수가 여러 개인 경우: 연립 방정식
연립 방정식은 동일한 변수를 갖는 두 개 이상의 방정식으로 이루어진 집합이며, 연립 방정식을 푼다는 것은 모든 방정식을 동시에 만족하는 값을 찾는 것을 의미합니다. 연립 방정식은 두 가지 조건이 동시에 충족되어야 할 때 나타납니다. 예를 들어, 휴대폰 요금제를 비교하거나, 두 경로가 만나는 지점을 찾거나, 화학 반응을 균형 있게 맞추는 경우에 사용됩니다.
연립 방정식의 구성 요소
이 섹션에서는 연립 방정식을 푸는 주요 방법을 다룹니다.
- 그래프 방법: 동일한 좌표 평면에 두 방정식을 모두 그래프로 나타냅니다. 교차점은 해가 됩니다.
- 대입 방법: 하나의 방정식을 특정 변수에 대해 풀고, 그 식을 다른 방정식에 대입합니다.
- 소거 방법: 방정식을 더하거나 빼서(필요한 경우 곱한 후) 하나의 변수를 소거한 다음, 나머지 변수에 대해 풉니다.
- 해의 유형: 연립 방정식은 하나의 해(교차하는 직선), 해가 없는 경우(평행한 직선), 또는 무한히 많은 해(동일한 직선)를 가질 수 있습니다.
연립 방정식의 예시
그래프 방법 예시
- y = x + 1과 y = -x + 5를 푸세요: 두 직선을 그래프로 나타냅니다. 두 직선은 (2, 3)에서 교차하므로 x = 2, y = 3입니다.
- y = 2x와 y = x + 3을 푸세요: 두 직선은 2x = x + 3에서 교차하며, x = 3, y = 6입니다. 교차점은 (3, 6)입니다.
- 두 친구가 서로 다른 위치에서 시작하여 서로를 향해 걷습니다. 이들의 경로는 선형 방정식으로 모델링되며, 만나는 지점에서 교차합니다.
대입 방법 예시
- y = 3x와 2x + y = 10을 푸세요: y 대신 3x를 대입합니다: 2x + 3x = 10이므로 5x = 10, x = 2입니다. 그러면 y = 3(2) = 6입니다.
- x = y - 4와 3x + 2y = 17을 푸세요: x 대신 (y - 4)를 대입합니다: 3(y - 4) + 2y = 17이므로 3y - 12 + 2y = 17, 5y = 29, y = 29/5입니다. 그러면 x = 29/5 - 4 = 9/5입니다.
- y = 2x + 1과 4x - y = 5를 푸세요: 대입합니다: 4x - (2x + 1) = 5이므로 2x - 1 = 5, 2x = 6, x = 3입니다. 그러면 y = 2(3) + 1 = 7입니다.
소거 방법 예시
- 2x + y = 7과 3x - y = 8을 푸세요: y를 소거하기 위해 두 방정식을 더합니다: 5x = 15이므로 x = 3입니다. 그러면 2(3) + y = 7, y = 1입니다.
- x + 2y = 10과 3x + 2y = 18을 푸세요: 두 번째 방정식에서 첫 번째 방정식을 뺍니다: 2x = 8이므로 x = 4입니다. 그러면 4 + 2y = 10, 2y = 6, y = 3입니다.
- 2x + 3y = 12와 4x - 3y = 6을 푸세요: y를 소거하기 위해 더합니다: 6x = 18, x = 3입니다. 그러면 2(3) + 3y = 12, 3y = 6, y = 2입니다.
해의 유형 예시
- y = 2x + 1과 y = 2x - 3은 평행하므로(동일한 기울기, 다른 y 절편), 해가 없습니다.
- y = 3x + 2와 6x - 2y = -4는 동일한 직선입니다(두 번째 식을 재배열하면 y = 3x + 2가 됩니다). 따라서 무한히 많은 해가 있습니다.
- y = x + 4와 y = -x + 2는 기울기가 다르므로 정확히 한 점에서 교차합니다: (−1, 3).