거듭제곱을 포함하는 표현: 다항식
다항식은 정수 지수를 갖는 항으로 구성된 대수식입니다. 간단한 이항식(예: x + 3)부터 복잡한 표현식(예: 4x³ - 2x² + 7x - 5)까지 다양합니다. 다항식의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 인수분해는 고차 방정식 풀기, 곡선 모델링, 미적분학 학습을 위한 필수적인 기술입니다.
다항식의 구성 요소
이 섹션에서는 주요 연산 및 용어를 다룹니다.
- 다항식 분류: 항의 개수(단항식, 이항식, 삼항식) 및 차수(가장 큰 지수)에 따라 분류합니다.
- 다항식의 덧셈 및 뺄셈: 같은 종류의 항끼리 묶고, 지수와 변수를 일치시킵니다.
- 다항식의 곱셈: 분배 법칙(이항식의 경우 FOIL)을 사용하여 각 항을 다른 다항식의 모든 항과 곱합니다.
- 다항식의 인수분해: 곱셈을 역으로 수행하여 다항식을 더 간단한 인수의 곱으로 표현합니다.
다항식의 예시
분류 예시
- 5x²는 차수가 2인 단항식(항이 하나)입니다.
- 3x + 7은 차수가 1인 이항식(항이 두 개)입니다.
- 2x³ - x² + 4x - 9는 항이 네 개이고 차수가 3인 다항식입니다.
덧셈 및 뺄셈 예시
- (3x² + 2x - 5) + (x² - 4x + 3)을 더합니다: 같은 종류의 항을 묶어 4x² - 2x - 2를 얻습니다.
- (5x² + x - 7) - (2x² - 3x + 1)을 뺍니다: 음수를 분배하고 묶습니다: 3x² + 4x - 8.
- (4a³ - 2a) + (a³ + 5a - 3)을 더합니다: 같은 종류의 항을 묶어 5a³ + 3a - 3을 얻습니다.
곱셈 예시
- (x + 3)(x + 5)를 FOIL을 사용하여 곱합니다: x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15.
- (2x - 1)(x + 4)를 곱합니다: 2x² + 8x - x - 4 = 2x² + 7x - 4.
- (x + 2)(x² - 3x + 1)을 곱합니다: 각 항을 분배합니다: x³ - 3x² + x + 2x² - 6x + 2 = x³ - x² - 5x + 2.
인수분해 예시
- x² + 5x + 6을 인수분해합니다: 곱해서 6이 되고 더해서 5가 되는 두 수를 찾습니다. 그 수는 2와 3이므로 (x + 2)(x + 3)입니다.
- x² - 9를 인수분해합니다: 이는 제곱의 차이이므로 (x + 3)(x - 3)으로 인수분해됩니다.
- 2x² + 7x + 3을 인수분해합니다: 곱해서 2 × 3 = 6이 되고 더해서 7이 되는 인수를 찾습니다. 그 수는 6과 1이므로 2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (2x + 1)(x + 3)입니다.