미분 활용: 미분 응용
미분은 단순한 추상적인 계산이 아니라 실제 문제를 해결하는 데 사용됩니다. 최댓값과 최솟값 찾기, 함수가 증가하거나 감소하는 지점 결정, 곡선의 모양 분석, 운동 모델링 등은 모두 미분을 통해 이루어집니다. 이러한 응용은 물리학, 경제학, 생물학, 공학 등 다양한 분야에서 나타납니다.
미분 응용의 구성 요소
이 섹션에서는 주요 응용 분야를 다룹니다.
- 극값 찾기: 1차 미분을 사용하여 임계점(f'(x) = 0 또는 정의되지 않은 지점)을 찾은 다음, 이를 지역 최댓값, 지역 최솟값 또는 둘 다가 아닌 값으로 분류합니다.
- 증가 및 감소 구간: 함수는 f'(x) > 0인 구간에서 증가하고, f'(x) < 0인 구간에서 감소합니다.
- 최적화: 실제 시나리오에서 함수를 설정하고, 미분을 구한 다음, f'(x) = 0으로 설정하고, 최적값을 찾기 위해 방정식을 풉니다.
- 관련 변화율: 두 개 이상의 양이 시간에 따라 변할 때, 암시적 미분과 연쇄 법칙을 사용하여 이들의 변화율이 어떻게 관련되는지 찾습니다.
미분 응용 예시
극값 찾기 예시
- f(x) = x² - 4x + 3의 경우, f'(x) = 2x - 4 = 0에서 x = 2를 얻습니다. f''(2) = 2 > 0이므로, x = 2는 f(2) = -1인 지역 최솟값입니다.
- f(x) = -x² + 6x의 경우, f'(x) = -2x + 6 = 0에서 x = 3을 얻습니다. f''(3) = -2 < 0이므로, x = 3은 f(3) = 9인 지역 최댓값입니다.
- f(x) = x³ - 3x의 경우, f'(x) = 3x² - 3 = 0에서 x = ±1을 얻습니다. f(-1) = 2는 지역 최댓값이고, f(1) = -2는 지역 최솟값입니다.
증가 및 감소 예시
- f(x) = x² - 2x의 경우, f'(x) = 2x - 2입니다. f'(x) = 0으로 설정하면 x = 1을 얻습니다. 함수는 (-∞, 1)에서 감소하고 (1, ∞)에서 증가합니다.
- f(x) = x³의 경우, f'(x) = 3x²입니다. 3x² ≥ 0 (모든 x에 대해, 그리고 x = 0에서만 0과 같음)이므로, 함수는 모든 곳에서 증가합니다.
- f(x) = -x³ + 12x의 경우, f'(x) = -3x² + 12 = 0에서 x = ±2를 얻습니다. 함수는 (-2, 2)에서 증가하고 해당 구간 외부에서 감소합니다.
최적화 예시
- 둘레가 40cm인 직사각형의 면적을 최대화합니다. 폭 = x, 길이 = 20 - x, 면적 A = x(20 - x) = 20x - x². A'(x) = 20 - 2x = 0에서 x = 10을 얻습니다. 최대 면적은 100cm² (정사각형)입니다.
- 농부가 직사각형 모양의 울타리를 짓는데, 한쪽 면은 외양간 벽에 닿도록 합니다. 울타리 길이는 200미터입니다. 세 변에 울타리를 칠 때: A = x(200 - 2x), A'(x) = 200 - 4x = 0, x = 50m. 최대 면적은 5,000m²입니다.
- 양수와 그 역수의 합을 최소화합니다. f(x) = x + 1/x, f'(x) = 1 - 1/x² = 0, x = 1. 최소값은 2입니다.
관련 변화율 예시
- 풍선의 반지름이 2cm/s의 속도로 증가합니다. r = 5일 때, 부피는 얼마나 빠르게 변할까요? V = 4/3 πr³, dV/dt = 4πr² × dr/dt = 4π(25)(2) = 200π ≈ 628.3 cm³/s.
- 10피트 길이의 사다리가 벽을 따라 미끄러져 내려옵니다. 사다리 밑부분은 1ft/s의 속도로 바깥쪽으로 움직입니다. 밑부분이 벽에서 6피트 떨어진 지점에서, 사다리 꼭대기는 얼마나 빠르게 미끄러져 내려갈까요? x² + y² = 100을 사용하면, 2x(dx/dt) + 2y(dy/dt) = 0입니다. y = 8이므로, dy/dt = -6/8 × 1 = -0.75 ft/s입니다.
- 물이 원뿔 모양의 용기(반지름 3m, 높이 6m)에 2m³/min의 속도로 채워집니다. h = 4일 때, r = 2이고, dh/dt = 2/(π × 4) = 1/(2π) ≈ 0.159 m/min입니다.