두 가지 중요한 개념 연결: 미적분 기본 정리
미적분 기본 정리(FTC)는 미분과 적분의 연결고리이며, 이 두 연산이 서로의 역연산임을 증명합니다. 제1부는 함수를 적분한 후 미분하면 원래 함수가 나온다고 말합니다. 제2부는 정적분을 구하기 위해 역도함수를 찾을 수 있다고 말합니다. 이 정리는 복잡한 덧셈으로 수행되던 면적 계산을 간단한 대수 연산으로 바꿉니다.
미적분 기본 정리의 구성 요소
이 섹션에서는 정리의 두 부분 모두를 다룹니다.
- 미적분 기본 정리 제1부: F(x) = ∫[a부터 x까지] f(t) dt인 경우, F'(x) = f(x)입니다. 미분은 적분의 역연산입니다.
- 미적분 기본 정리 제2부: ∫[a부터 b까지] f(x) dx = F(b) - F(a)이며, 여기서 F는 f의 임의의 역도함수입니다. 이는 정적분을 계산하는 실용적인 방법을 제공합니다.
- 순 변화 정리: 특정 구간에서 변화율을 적분하면 순 변화가 나타납니다: ∫[a부터 b까지] f'(x) dx = f(b) - f(a).
- 미적분 기본 정리를 이용한 계산: 역도함수를 찾고, 적분 구간을 대입하고, 차이를 계산하는 단계별 과정입니다.
미적분 기본 정리의 예시
미적분 기본 정리 제1부 예시
- F(x) = ∫[0부터 x까지] t² dt인 경우, F'(x) = x²입니다. 즉, 적분의 도함수는 원래 함수를 반환합니다.
- F(x) = ∫[1부터 x까지] (3t + 5) dt인 경우, F'(x) = 3x + 5입니다.
- F(x) = ∫[2부터 x까지] cos(t) dt인 경우, F'(x) = cos(x)입니다.
미적분 기본 정리 제2부 예시
- ∫[1부터 3까지] 2x dx를 계산합니다: 역도함수는 x²입니다. F(3) - F(1) = 9 - 1 = 8입니다.
- ∫[0부터 2까지] (3x² + 1) dx를 계산합니다: 역도함수는 x³ + x입니다. F(2) - F(0) = (8 + 2) - (0 + 0) = 10입니다.
- ∫[1부터 4까지] √x dx를 계산합니다: 역도함수는 2x^(3/2)/3입니다. F(4) - F(1) = 2(8)/3 - 2(1)/3 = 16/3 - 2/3 = 14/3 ≈ 4.67입니다.
순 변화 예시
- 어떤 모집단은 P'(t) = 100 + 2t명/년의 비율로 증가합니다. 0년부터 5년까지의 모집단 증가는 ∫[0부터 5까지] (100 + 2t) dt = [100t + t²] (0부터 5까지) = 500 + 25 = 525명입니다.
- 물이 4t 리터/분 속도로 탱크로 유입됩니다. t = 0부터 t = 3까지의 총 물의 양은 ∫ 4t dt = 2t²이며, 이는 2(9) - 0 = 18리터로 계산됩니다.
- 자동차의 속도는 v(t) = 3t m/s입니다. t = 2부터 t = 6까지의 거리는 ∫ 3t dt = 3t²/2이며, 이는 3(36)/2 - 3(4)/2 = 54 - 6 = 48미터로 계산됩니다.
단계별 계산 예시
- ∫[-1부터 2까지] (x² - 1) dx를 계산합니다: 1단계: 역도함수는 x³/3 - x입니다. 2단계: F(2) = 8/3 - 2 = 2/3입니다. 3단계: F(-1) = -1/3 + 1 = 2/3입니다. 4단계: 2/3 - 2/3 = 0입니다.
- ∫[0부터 π까지] sin(x) dx를 계산합니다: 역도함수는 -cos(x)입니다. 계산: -cos(π) - (-cos(0)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2입니다.
- ∫[1부터 e까지] 1/x dx를 계산합니다: 역도함수는 ln(x)입니다. 계산: ln(e) - ln(1) = 1 - 0 = 1입니다.