모두 더하기: 적분
적분은 미분의 역연산으로, 어떤 양의 변화율로부터 그 양의 총 누적량을 구합니다. 함수의 적분은 그 함수의 곡선 아래의 면적을 나타내며, 이는 이동 거리, 총 수익, 채워진 부피 및 수많은 다른 누적 문제와 관련됩니다. 기본적인 적분 규칙을 마스터하는 것은 고급 수학의 모든 분야에서 필수적입니다.
적분의 구성 요소
이 섹션에서는 기본적인 적분 기법을 다룹니다.
- 부정 적분: 적분 상수 C를 갖는 F(x) + C. 결과는 함수들의 집합입니다.
- 적분을 위한 거듭제곱 규칙: xⁿ의 적분은 xⁿ⁺¹/(n+1) + C이며, 모든 n ≠ -1에 대해 유효합니다.
- 정적분: a부터 b까지의 적분은 x = a와 x = b 사이의 곡선 아래의 순 면적을 나타내는 특정 값을 제공합니다.
- 기본적인 적분 속성: 합의 적분은 적분들의 합과 같습니다. 상수는 밖으로 묶어낼 수 있습니다.
적분의 예시
부정 적분의 예시
- ∫ x³ dx 적분: 거듭제곱 규칙을 사용하여 x⁴/4 + C.
- ∫ 5x² dx 적분: 5를 밖으로 묶은 다음 5 × x³/3 + C = 5x³/3 + C.
- ∫ (4x + 3) dx 적분: 각 항을 개별적으로 적분하여 2x² + 3x + C를 얻습니다.
거듭제곱 규칙의 예시
- ∫ x⁵ dx 적분 = x⁶/6 + C.
- ∫ √x dx 적분 = ∫ x^(1/2) dx = x^(3/2)/(3/2) + C = 2x^(3/2)/3 + C.
- ∫ 1/x² dx 적분 = ∫ x⁻² dx = x⁻¹/(-1) + C = -1/x + C.
정적분의 예시
- 0부터 3까지의 ∫ 2x dx 값을 구합니다. 부정 적분은 x²입니다. 값을 구합니다: 3² - 0² = 9.
- 1부터 4까지의 ∫ x² dx 값을 구합니다. 부정 적분은 x³/3입니다. 값을 구합니다: 64/3 - 1/3 = 63/3 = 21.
- x = 0부터 x = 5까지 y = 3 아래의 면적을 구합니다: ∫ 3 dx = 3x, 0부터 5까지 값을 구하면 15가 됩니다(가로 5, 세로 3인 직사각형).
적분 속성의 예시
- ∫ (x² + 3x - 1) dx 적분 = x³/3 + 3x²/2 - x + C.
- ∫ 7 × x⁴ dx 적분 = 7 × x⁵/5 + C = 7x⁵/5 + C.
- 자동차가 v(t) = 3t² m/s의 속도로 이동합니다. t = 0부터 t = 4까지의 총 거리는 ∫ 3t² dt = t³이며, 0부터 4까지 값을 구하면 64미터가 됩니다.