값에 접근하기: 극한과 연속성
극한은 함수가 특정 값에 가까워질수록 함수의 값이 어떻게 변하는지를 설명합니다. 함수가 실제로 그 값에 도달하지 않더라도 마찬가지입니다. 연속성은 함수가 특정 지점에서 끊어지거나, 불연속이거나, 구멍이 없는 상태를 의미합니다. 극한과 연속성은 미분과 적분의 이론적 토대를 형성하며, 이 둘은 미적분학의 두 기둥입니다.
극한과 연속성의 구성 요소
이 섹션에서는 주요 개념을 다룹니다.
- 극한 계산: 직접 대입, 인수 분해 또는 유리화 방법을 사용하여 x가 a에 접근할 때 함수의 값이 어떻게 변하는지 찾습니다(x → a).
- 단측 극한: 왼쪽에서 접근하는 극한(x → a⁻)과 오른쪽에서 접근하는 극한(x → a⁺)은 다를 수 있습니다. 양측 극한은 두 값이 모두 같을 때만 존재합니다.
- 무한대에서의 극한: x가 한없이 커질 때 함수의 동작을 설명하고, 수평 점근선을 나타냅니다.
- 연속성: 함수 f(x)가 x = a에서 연속하려면 f(a)가 정의되어 있고, x가 a에 접근할 때 극한이 존재하며, 극한 값이 f(a)와 같아야 합니다.
극한과 연속성의 예시
극한 계산 예시
- lim(x→3) (2x + 1)을 구합니다. 직접 대입하면 2(3) + 1 = 7입니다.
- lim(x→2) (x² - 4)/(x - 2)를 구합니다. 분자를 (x-2)(x+2)로 인수 분해하고 (x-2)를 약분하면 lim(x→2) (x+2) = 4가 됩니다.
- lim(x→0) sin(x)/x를 구합니다. 이는 1과 같은 잘 알려진 극한이며, 미적분학 증명에서 자주 사용됩니다.
단측 극한 예시
- f(x) = |x|/x인 경우, x가 0⁻로 접근할 때의 왼쪽 극한은 -1이고, x가 0⁺로 접근할 때의 오른쪽 극한은 1입니다. 두 값이 다르므로 양측 극한은 존재하지 않습니다.
- x < 1일 때 2이고, x ≥ 1일 때 5인 계단 함수에서 x = 1에서의 왼쪽 극한은 2이고, 오른쪽 극한은 5입니다.
- f(x) = √x인 경우, x가 0⁻로 접근할 때의 왼쪽 극한은 존재하지 않습니다(음수의 제곱근은 정의되지 않음). 그러나 x가 0⁺로 접근할 때의 오른쪽 극한은 0입니다.
무한대에서의 극한 예시
- lim(x→∞) 3/x를 구합니다. x가 커질수록 3/x는 0에 가까워집니다. 수평 점근선은 y = 0입니다.
- lim(x→∞) (2x + 1)/(x - 3)을 구합니다. 분자와 분모를 x로 나누면 (2 + 1/x)/(1 - 3/x)가 되며, 이는 2/1 = 2에 가까워집니다.
- lim(x→∞) (5x²)/(x² + 4)를 구합니다. x²로 나누면 5/(1 + 4/x²)가 되며, 이는 5에 가까워집니다.
연속성 예시
- f(x) = x²는 모든 곳에서 연속입니다. 연필을 떼지 않고 포물선을 그릴 수 있습니다.
- f(x) = 1/x는 x = 0에서 연속이 아닙니다. 왜냐하면 f(0)은 정의되지 않기 때문입니다(0으로 나누는 것은 불가능).
- f(x) = x + 1 (x ≠ 2)이고 f(2) = 5로 정의된 함수는 x = 2에서 불연속입니다. 왜냐하면 극한(3)이 f(2) = 5와 같지 않기 때문입니다.