변화율: 미분
미분은 함수의 입력에 대한 출력의 변화 속도를 측정하는 것으로, 이는 임의의 지점에서 순간적인 변화율입니다. f'(x) 또는 dy/dx로 표시되며, 미분은 주어진 지점에서 곡선에 대한 접선의 기울기입니다. 미분은 운동을 분석하고, 시스템을 최적화하고, 과학, 공학 및 경제 분야에서 변화를 모델링하는 데 사용됩니다.
미분의 구성 요소
이 섹션에서는 기본적인 미분 규칙과 기술을 다룹니다.
- 거듭제곱 규칙: f(x) = xⁿ인 경우, 미분은 f'(x) = nxⁿ⁻¹입니다.
- 합과 상수 규칙: 합의 미분은 각 미분의 합이며, 상수는 미분 과정에서 제거되고, 상수 자체의 미분은 0입니다.
- 곱과 몫 규칙: 곱 규칙: (fg)' = f'g + fg'. 몫 규칙: (f/g)' = (f'g - fg') / g².
- 연쇄 규칙: 합성 함수의 경우, d/dx[f(g(x))] = f'(g(x)) × g'(x)입니다. 즉, 바깥쪽 함수를 미분하고 안쪽 함수의 미분으로 곱합니다.
미분의 예시
거듭제곱 규칙 예시
- f(x) = x⁴의 미분: f'(x) = 4x³.
- f(x) = 3x⁵의 미분: f'(x) = 15x⁴.
- f(x) = x² + 6x - 2의 미분: f'(x) = 2x + 6.
합과 상수 규칙 예시
- f(x) = 5x³ - 2x + 7의 미분: f'(x) = 15x² - 2 (상수 7은 사라짐).
- f(x) = 4x² + 3x의 미분: f'(x) = 8x + 3.
- f(x) = 10의 미분: f'(x) = 0 (상수는 변화율이 0입니다).
곱과 몫 규칙 예시
- x² × sin(x)의 d/dx: 곱 규칙을 사용하여 2x × sin(x) + x² × cos(x).
- (3x + 1)(x² - 4)의 d/dx: 곱 규칙을 적용하면 3(x² - 4) + (3x + 1)(2x) = 3x² - 12 + 6x² + 2x = 9x² + 2x - 12.
- x/(x + 1)의 d/dx: 몫 규칙을 적용하면 ((1)(x + 1) - x(1)) / (x + 1)² = 1/(x + 1)².
연쇄 규칙 예시
- (2x + 3)⁵의 d/dx: 바깥쪽 함수의 미분은 5(2x + 3)⁴이고, 안쪽 함수의 미분은 2이므로 결과는 10(2x + 3)⁴입니다.
- √(x² + 1)의 d/dx: (x² + 1)^(1/2)로 다시 쓰고, 1/2 × (x² + 1)^(-1/2) × 2x = x/√(x² + 1).
- sin(3x)의 d/dx: 바깥쪽 함수의 미분은 cos(3x)이고, 안쪽 함수의 미분인 3을 곱하면 3cos(3x).