세상을 측정하다: 적분의 응용
적분은 곡선 아래의 면적을 구하는 것 이상으로, 입체의 부피, 총 누적량, 평균값, 그리고 힘에 의한 일을 계산합니다. 이러한 응용은 적분을 물리학, 공학, 경제학, 생물학에서 연속적으로 변화하는 것을 측정하는 데 필수적인 도구로 만듭니다.
적분 응용의 구성 요소
이 섹션에서는 주요 응용 분야를 다룹니다.
- 곡선 사이의 면적: 두 함수 f(x)와 g(x) 사이의 면적은 a부터 b까지 ∫|f(x) - g(x)| dx입니다.
- 회전체의 부피: 영역을 축을 중심으로 회전시키면 부피를 디스크 방법을 사용하여 구할 수 있는 입체가 생성됩니다: V = π ∫[f(x)]² dx.
- 함수의 평균값: [a, b]에서 f(x)의 평균값은 (1/(b-a)) × ∫(a부터 b까지) f(x) dx입니다.
- 누적 및 총 변화: 특정 구간에 걸쳐 속도 함수를 적분하면 해당 시간 동안 누적된 총량을 얻을 수 있습니다.
적분 응용의 예시
곡선 사이의 면적 예시
- y = x²와 y = x 사이의 면적을 0부터 1까지 구합니다: ∫(0부터 1까지) (x - x²) dx = [x²/2 - x³/3] (0부터 1까지) = 1/2 - 1/3 = 1/6.
- y = 4와 y = x² 사이의 면적을 -2부터 2까지 구합니다: ∫(-2부터 2까지) (4 - x²) dx = [4x - x³/3] (-2부터 2까지) = (8 - 8/3) - (-8 + 8/3) = 32/3 ≈ 10.67.
- 1개월부터 6개월까지 두 개의 수익 곡선 사이의 면적은 해당 기간 동안 두 제품 간의 총 수익 차이를 나타냅니다.
회전체 부피 예시
- y = x를 0부터 3까지 x축을 중심으로 회전시킵니다: V = π ∫(0부터 3까지) x² dx = π[x³/3] (0부터 3까지) = π(9) = 9π ≈ 28.27 입방 단위.
- y = √x를 0부터 4까지 x축을 중심으로 회전시킵니다: V = π ∫(0부터 4까지) x dx = π[x²/2] (0부터 4까지) = π(8) = 8π ≈ 25.13 입방 단위.
- y = x²를 0부터 2까지 회전시켜 만든 그릇 모양의 부피는 V = π ∫(0부터 2까지) x⁴ dx = π[x⁵/5] (0부터 2까지) = 32π/5 ≈ 20.11 입방 단위입니다.
평균값 예시
- f(x) = x²의 평균값을 [0, 3]에서 구합니다: 평균 = (1/3) × ∫(0부터 3까지) x² dx = (1/3)(9) = 3.
- T(t) = 70 + 10sin(t)일 때 [0, π]에서 평균 온도를 구합니다: 평균 = (1/π) × ∫(0부터 π까지) (70 + 10sin(t)) dt = (1/π)(70π + 20) = 70 + 20/π ≈ 76.37°.
- 공장의 생산량은 f(t) = 50 + 4t 단위/시간입니다. t = 0부터 t = 8까지의 평균 생산량은 (1/8) × ∫(50 + 4t) dt = (1/8)(400 + 128) = 66 단위/시간입니다.
누적 예시
- 오일이 r(t) = 100 - 5t 갤런/시간의 비율로 누출됩니다. t = 0부터 t = 10까지 총 누출량은 ∫(100 - 5t) dt = [100t - 5t²/2] (0부터 10까지) = 1,000 - 250 = 750 갤런입니다.
- 수익이 R(t) = 200e^(0.05t) 달러/일의 비율로 발생합니다. 0일차부터 30일차까지의 총 수익은 ∫ 200e^(0.05t) dt = 4,000[e^(1.5) - 1] ≈ 12,936달러입니다.
- 스프링클러가 w(t) = 3 + 0.5t 갤런/분으로 물을 공급합니다. 10분 동안의 총 물의 양은 ∫(3 + 0.5t) dt = [3t + 0.25t²] (0부터 10까지) = 30 + 25 = 55 갤런입니다.